2.5. Угловая скорость
Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Назовем абсолютно твердым телом такое тело, расстояние между любыми двумя точками которого во время движения остается неизменным.
Рассмотрим
абсолютно твердое тело с закрепленной
осью
(см.
рис.8).
Рис. 8
Проведем через
ось две плоскости
и S.
Площадь
-
неподвижная. S
– вращается вокруг оси вместе с телом.
Задание
одного числа - угла поворота
целиком определяет расположение
(ориентацию) тела; тело, вращающееся
вокруг неподвижной оси, имеет лишь одну
степень свободы.
Уравнение
вращательного движения:
При вращении твердого тела в целом отдельные его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.
Рассмотрим произвольную точку М, лежащую в подвижной плоскости S. (рис. 9).
Рис. 9
Если измерять в радианах, то пройденный точкой путь s (не путать с площадью S):
(2.14)
За
время
тело
повернется на угол
.
(2.15)
Разделив обе части на и переходя к пределам получим:
(2.16)
-
величина линейной скорости движения
тела
По аналогии с этим величина
- характеризует
быстроту изменения угла поворота и
называется угловой
скоростью вращения
тела.
Таким образом:
(2.17)
Угловым ускорением
называется предел отношения изменения
угловой скорости
за промежуток
к этому промежутку времени при бесконечном
уменьшении последнего, т.е. угловое
ускорение:
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Тогда полное ускорение:
При равномерном
движении твердого тела
,
где
- константа интегрирования.
Если
при
,
получим
,
отсюда
.
Таким образом:
(2.22)
При
равноускоренном вращении
Если при
то
Тогда:
(2.23)
Если
при
то
Тогда:
(2.24)
Таким образом, рассматривая движение точки по прямой и по окружности можно найти аналогию между основными формулами.
Движение по прямой |
Движение по окружности |
равномерное движение |
|
|
|
|
|
равноускоренное движение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление векторов угловой скорости и углового ускорения находятся по правилу правого винта (рис. 10)
Рис. 10