2.6. Частные случаи равноускоренного движения

1. Свободное падение. Свободным падением называется движение тела без начальной скорости под действием только силы тяжести (сила тяжести действует на тело, находящееся вблизи какой-нибудь планеты, звезды и т.п. Подробнее с понятием силы вообще и силы тяжести в частности мы познакомимся далее в Главе 3).

Результаты экспериментов убедительно свидетельствуют о следующем:

а) Свободное падение является равноускоренным движением.

б) Все тела свободно падают с одинаковым ускорением (от латинского gravitas - тяжесть).

в) Ускорение свободного падения в разных точках земли несколько различно. Эта разница не превышает 0,6%, поэтому при не очень точных измерениях ей пренебрегают и считают м/сек².

Запишем законы движения тела, падающего с некоторой высоты (рис.11).

Рис. 11

Начало координат помещаем в точке начала падения.

,

2. Движение тела, брошенного вертикально вверх.

Пусть тело бросили вертикально с некоторой высоты со скоростью (рис.12).

Рис.12

Ось направляем вертикально вверх. Вектор ускорения свободного падения направлен в противоположную сторону (вниз).

Координата тела в любой момент времени задается формулой:

(2.25)

(Знак «-» указывает на противоположность направлений оси У и вектора .)

Скорость тела в любой момент времени: . (2.26)

В наивысшей точке подъема , , (2.27)

Подставив это выражение в (2.25), получим

2.7. Криволинейное движение в поле сил тяжести

Рассмотрим особенности криволинейного движения при решении задачи о движении тела, брошенного со скоростью под углом к горизонту (рис. 13).

Рис. 13

Дано: ,

Определить:

а) Траекторию движения тела;

б) Время полета ;

в) Дальность полета , или перемещение тела ;

г) Максимальную высоту подъема ;

д) Скорость тела на высоте ;

е) и в начальной точке траектории и в наивысшей точке подъема;

ж) Радиусы кривизны траектории в этих точках.

Разложим движение на два прямолинейных: вдоль оси Х и вдоль оси У. Движение вдоль оси Х равномерное с начальной скоростью , которая остается постоянной:

Уравнение движения вдоль оси Х имеет вид

(2.28)

Движение вдоль оси У равноускоренное с постоянным ускорением и минимальной скоростью .

(2.29)

(2.29а)

а) Найти траекторию движения – это значит найти аналитическое уравнение кривой, по которой движется тело в пространстве.

Из (2.28) и (2.29а) исключаем время .

Из (2.28) , подставим в (2.29а):

(2.29б)

Уравнению (2.29б) описывает параболу, ветви которой направлены вниз, центр параболы смещен относительно начало координат.

б) Воспользуемся формулой (2.29а) для определения времени полета тела. Приравняв , получим

(2.30)

Действительно, тело на земле оказывается дважды – в начале и в конце полета.

Искомое время полета .

в) Так как вдоль оси Х движение равномерное и известно время движения (2.30), то

(2.31)

г) Максимальную высоту подъема тела можно определить из формулы (2.29а), подставив в нее время подъема , которое можно определить по формуле (2.29), из условия, что в наивысшей точке подъема равно :

таким образом,

.

Максимальную высоту подъема в этом случае можно также найти из следующих соображений. Парабола – симметричная кривая. Зная дальность полета можно определить х- координату наивысшей точки подъема:

Тогда, подставив х в уравнение траектории, получим

д) для определения скорости на высоте h необходимо знать время, когда тело находится на этой высоте, , и тогда компоненты скорости будут определены.

Время найдем из уравнения (2.29а)

Оба значения времени имеют физический смысл, так как на высоте h тело будет находится дважды, в первый раз – двигаясь вверх, второй раз – вниз. Поэтому скорость тела на высоте h определяется формулами:

в первой точке:

Модуль скорости равен .

Тангенс угла наклона скорости к оси Х:

Во второй точке на высоте h

Модуль скорости равен ,

Тангенс угла наклона скорости к оси Х

е) Чтобы найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения, воспользуемся тем, что тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории движения, а нормальное по нормали к ней. Полное же ускорение, с которым движется тело во всех точках, одинаково и равняется ускорению свободного падения g. Разложим вектор на две составляющие в точках О и А (рис. 12).

В точке О:

В точке А:

ж) Нормальное ускорение определяется по формуле:

Отсюда радиус кривизны

В точке О:

В точке А: