Глава 5. Динамика вращательного движения
5.1. Момент силы
Чтобы твердое тело с закрепленной осью привести во вращательное движение, необходимо хотя бы в одной из его точек приложить внешнюю силу не подходящую через ось вращения.
Тело находится в равновесии лишь тогда, когда все действующие силы компенсируют друг друга в каждой точке тела (из I-го закона Ньютона).
Если линии действия сил проходят через одну точку, а их сумма равна нулю, то это условие автоматически выполняется. Если силы приложены в разных точках, то для равновесия должно выполняться одно условие:
Моменты всех сил (вращающие моменты) должны компенсировать друг друга.
Допустим, вы собираетесь открыть тяжелую дверь. Как вы будете ее толкать: вблизи петель или вблизи ручки? Параллельно двери или перпендикулярно к ней?
Эффективность вращающего момента зависит от силы, длины радиус-вектора, проведенного от оси в точку ее приложения и от угла между радиус-вектором и силой (Рис. 20). Только лишь перпендикулярная к этому радиус-вектору составляющая силы стремиться повернуть тело. Вращающий момент равен произведению длины радиус-вектора и проекции вектора силы на направление, перпендикулярное радиус-вектору. Верно и следующее определение: Вращающий момент равен произведению модуля вектора силы на проекцию радиус-вектора на направление, перпендикулярное вектору силы. И то, и другое определение дают с математической точки зрения векторное произведение двух векторов:
(5.1)
(5.2)
Рис. 20
Момент силы стремиться вызвать вращение вокруг оси либо по часовой стрелке, либо против, а ось сама имеет некоторое направление. Наиболее разумный способ указать направление вращающего момента – это сказать, что он направлен вдоль этой оси, в одну ее сторону или противоположную. В случае вращающихся моментов, приложенных к двери, их направление будет либо вверх, либо вниз вдоль линии петель. Это направление определяется следующим правилом: пусть пальцы правой руки согнуты в направлении, в котором момент стремиться повернуть дверь, тогда большой палец, отогнутый на 90 º, будет указывать направление вращающего момента.
Если на тело действуют несколько сил, то полный вращающий момент равен алгебраической сумме моментов всех действующих сил:
(5.3)
5.2. Момент инерции
Проведем через твердое тело произвольную ось вращения. Затем разобьем тело на совокупность отдельных точек с массами m1, m2, m3, …, mi, каждая из которых находится на расстоянии r1, r2, …, rn от оси, вращения. На каждую i-ю точку действуют силы.
(5.4)
Спроецируем
и
на направление касательной к траектории
точки (рис.21).
Рис. 21
(5.5)
(5.6)
Умножим
обе части на
, получим:
(5.7)
(5.8)
(5.9)
- для каждой точки
тела.
Для всего тела:
(5.10)
Тогда
полный момент внешних сил
-
момент инерции
(5.11)
Таким образом:
(5.12)
основной закон динамики вращательного движения.
Момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса в движении по прямой.
Чем больше момент инерции, тем больший требуется момент милы, чтобы изменить угловую скорость.