2.5. Неньютоновские жидкости

Простейшей моделью жидкостей или газов является идеальная жидкость, при движении которой отсутствуют касательные напряжения. Тензор напряжения в этом случае является сферическим, т.е

, (2.26)

где - давление и тензорная единица, соответственно.

Выражение (2.26) представляет собой простейший вид реологического уравнения среды. Реологическое уравнение среды связывает компоненты тензоров напряжений, деформаций и их производных по времени; при этом тензор скоростей деформаций представляет собой производную по времени от тензора деформаций. Уравнение (2.26) показывает, что все нормальные напряжения в данной точке среды выражаются через одну скалярную величину - давление.

Реологический закон текучести для реальной (вязкой) жидкости, находящейся в прямолинейном ламинарном движении, основан на гипотезе Ньютона, утверждающей существование прямой пропорциональности между касательными напряжениями , действующими в плоскостях соприкасания слоев жидкости, и производными от скорости u по направлениям, нормальным к этим плоскостям (по n). Он имеет вид

. (2.27)

Здесь - коэффициент пропорциональности (зависит от температуры жидкости) или динамический коэффициент вязкости.

Из формулы (2.27) следует, что - касательное усилие, приходящееся на единицу площади и приложенное к слоям жидкости, отстоящим друг от друга на расстоянии, равном единице длины при единичной разности скоростей между ними.

Реологический закон (2.27) представляет собой частный случай более общего закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Этот закон называется обобщенным законом Ньютона. Для несжимаемой вязкой жидкости обобщенный закон Ньютона имеет вид

, (2.28)

где - тензор скоростей деформаций.

Компоненты тензора напряжений составляют

(2.29)

где - составляющие вектора скорости.

Жидкости, удовлетворяющие обощенному закону вязкого трения Ньютона называются ньютоновскими жидкостями.

Для ньютоновских жидкостей вязкость не зависит от скорости сдвига. Зависимость между напряжением и скоростью деформации представляет собой прямую линию (рис. 2.6, прямая 3) с тангенсом угла наклона .

1 - вязко-пластическая; 2- псевдопластическая;

3 - ньютоновские жидкости; 4 - дилатантные среды

Рис. 2.6. Связь между напряжением сдвига и скоростью

деформации для разных текучих сред

В ньютоновских жидкостях диссипация энергии обусловлена столкновением небольших молекул. Поэтому к числу ньютоновских жидкостей относятся все жидкости, газы, растворы с небольшой молекулярной массой.

Жидкости, не подчиняющиеся в своем движении обобщенному закону Ньютона, называются неньютоновскими. К ним относятся, например, смазки, которые не текут при малом давлении до тех пор, пока не будет достигнут достаточно большой перепад давления. Максимальное напряжение, которое необходимо иметь для того, чтобы происходило течение таких жидкостей, как смазки, называется пределом текучести ( ).

При напряжении сдвига, превосходящем предел текучести ( ) скорость сдвига становится пропорциональной разности между приложенным напряжением и пределом текучести (рис. 2.6, прямая 1).

, (2.30)

Здесь , - скорость сдвига; .

Зависимость (2.30) была предложена в 1889 г. Ф.Н. Шведовым, в 1916 г. ее получил Е. Бингам. Среды, течение которых характеризуется реологическим уравнением (2.30), называются средами Шведова-Бингама (вязко-пластические среды или тела).

Предполагается, что вязко-пластические среды имеют пространственную структуру, достаточно жесткую, чтобы сопротивляться напряжению, не превосходящему предела текучести. Если , происходит разрушение этой структуры. При среда начинает течь как обычная ньютоновская жидкость (рис. 2.6, прямая 3). При структура материала среды восстанавливается.

Связь между тензорами - девиаторами напряжений и скоростей деформаций , согласно (2.30), выражается следующим образом

, (2.31)

где H - интенсивность скоростей деформаций сдвига,

.

К числу неньютоновских жидкостей относятся, кроме вязко-пластических сред, жидкости, не обнаруживающие предела текучести, но с увеличением скорости течения приобретающие измененную текучесть. При продавливании таких жидкостей через капилляр увеличение давления вдвое может вызвать четырехкратное повышение их расхода. Такие жидкости называются псевдопластичными или разжижающимися под действием сдвига (рис. 2.6, кривая 2).

При высоких скоростях сдвига псевдопластичные жидкости напоминают вязко-пластичные тела Шведова-Бингама, а при низких скоростях они ведут себя подобно ньютоновским жидкостям. Такое поведение материала можно объяснить тем, что при низких скоростях сдвига несферические полимерные частицы распределяются хаотически, а при повышении скорости они стремятся ориентироваться в направлении течения. И это является причиной уменьшения сопротивления их обтеканию.

Обратное явление, сводящееся к загущению системы при течении, свойственно так называемым дилатантным материалам. Для этих материалов повышение перепада давления в четыре раза приводит к увеличению скорости их течения лишь вдвое. Возможны и иные соотношения между перепадом давления и скоростью течения при сохранении дилатантного течения (рис. 2.6, кривая 4).

При течении дилатантной среды в случае малых скоростей сдвига ее частицы скользят друг по другу. С постепенным повышением скорости сдвига одни частицы начинают препятствовать движению других, перемещающихся более быстро, в результате чего быстродействующие частицы перескакивают через соседние частицы. Такой процесс эквивалентен расширению системы. Таким образом, процесс структурообразования является причиной нарастания вязкости при увеличении скорости сдвига.

Для описания дилатантных и псевдопластичных жидкостей установлена эмпирическая функциональная зависимость в виде степенного закона Оствальда

, (2.32)

где k - мера консистенции жидкости (чем выше вязкость жидкости, тем больше k);

n - индекс течения, который определяет степень отличия течения неньютоновской от ньютоновской среды.

В общем случае n не является постоянной величиной. Размерность величины k зависит от n. Обычно в расчетах n и k принимают постоянными. Очевидно, что при n = 1 имеет место среда , подчиненная в своем движении обобщенному закону Ньютона, при этом коэффициент k характеризует динамическую вязкость среды.

Пользуясь формулами (2.28) и (2.32), можно получить выражение для так называемой кажущейся вязкости

, (2.33)

где .

Это позволяет записать степенной закон Оствальда в виде, напоминающем гипотезу Ньютона

. (2.34)

Связь между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформаций для несжимаемых жидкостей, подчиненных степенному закону течения, выражается в следующей форме

, (2.35)

где - символ Кронекера,

- второй инвариант тензора скоростей деформации.

Квадратичный (второй) инвариант тезора-девиатора скорости деформации представляет собой суммарную характеристику искажения формы элемента среды.

Движение неньютоновских вязких несжимаемых жидкостей, как и ньютоновских, в каналах различных сечений возможно лишь при наличии перепада давления между сечениями канала. Наличие перепада давления выражается суммой двух совершенно различных, по своей физической природе слагаемых. Одно на них представляет собой изменение давления, обусловленное изменением кинетической энергии движущейся массы жидкости, другое, (необратимая часть) - изменение давления вследствие диссипации энергии (преобразования механической энергии в тепловую).

При движении несжимаемой жидкости по каналу постоянного сечения изменение давления, обусловленное изменением кинетической энергии жидкости, может возникнуть на участке стабилизации потока. В области стабилизировавшегося течения (поле скоростей от сечения к сечению неизменно) остается лишь необратимая часть перепада давления (она поддерживает существование установившегося течения). В области установившегося течения необратимая часть перепада давления (перепад давления) является мерой гидравлического сопротивления. Количественной характеристикой гидравлического сопротивления служит коэффициент гидродинамического (гидравлического) сопротивления.

К неньютоновским жидкостям относятся и дисперсные среды - смеси двух фаз, одна из которых (основная) является сплошной, а вторая, дисперсная, распределена в первой в виде отдельных элементов объема. Как правило, основная фаза может быть или жидкостью, или газом, дисперсная фаза - жидкостью, твердым телом или газом.

Если основная фаза представляет собой жидкость, то она может содержать взвешенные твердые частицы (суспензия), капли другой, не смешивающейся жидкости (эмульсия), газовые пузырьки или полости (кипящая жидкость или пена).

К неньютоновским жидкостям также относят многие биологические жидкости, например, кровь, представляющую собой суспензию деформирующихся кровяных телец - эритроцитов диаметром около 8 мкм, окруженных прозрачной ньютоновской жидкостью - плазмой. Вязкость крови существенно уменьшается при увеличении ее скорости деформации. Каждая суспензия обнаруживает этот эффект.

Для установившегося движения перечисленных сред необходимо поддержание неравного нулю перепада давления. И главную роль в этом играет наличие вязкости, как основной характеристики реальных жидких сред.