8.3. Закон изменения момента количества движения

Для системы частиц закон об изменении момента количеств движения формулируется следующим образом: производная по времени от вектора главного момента количеств движения системы относительно какого-либо центра равна вектору главного момента внешних сил, приложенных к системе, взятому относительно того же центра, т.е.

. (8.7)

Если применить этот закон для объема жидкости , ограниченного контрольной поверхностью s, то получим, что изменение момента количеств движения относительно некоторой точки будет

.

После преобразований, аналогичных рассмотренным в предыдущем разделе 8.2, окончательно получим

. (8.8)

Следовательно, действие моментов внешних сил определяется моментом количеств движения жидкости, переносимым через поверхность s.

Еще раз подчеркнем, что применение законов об изменении количеств и момента количеств движения к объему, ограниченному некоторой контрольной поверхностью, не требует знания того, что происходит внутри выбранного объема. Необходимы знания величин лишь на поверхности s.

8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки

В некоторых случаях в гидравлике удобно применять уравнения количества движения (импульса сил), например, когда надо найти силу воздействия потока на преграду или русло, не рассматривая процессы, происходящие внутри потока жидкости.

Для материального тела массой m, движущегося со скоростью , изменение количества движения за время dt вследствие действия силы выразится векторным уравнением

, (8.9)

где - приращение количества движения, обусловленное импульсом .

Применим эту теорему механики к участку потока с расходом Q между сечениями 1-1 и 2-2 в условиях установившегося течения (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Схема применения уравнения количества

движения к жидкости

За время dt этот участок переместится в положение, определяемое сечениями 1'-1' и 2'-2'. Чтобы выразить приращение количества движения рассматриваемого участка, нужно из количества движения объема между сечениями 1-1 и 2-2 вычесть количество движения объема между сечениями 1’-1’ и 2'-2'. При вычитании количество движения промежуточного объема, ограниченного сечениями 1'-1’ и 2-2, сократится и останется лишь разность количеств движения элементов 2-2' и 1-1', которые на рис. 8.1 заштрихованы. Объемы этих элементов , а следовательно, и их массы одинаковы, поэтому приращение количества движения будет равно .

Это приращение количества движения обусловлено импульсом всех внешних сил, действующих на объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2, - сил давления в первом и втором сечениях и , силы тяжести всего объема G, а также реакции стенок русла R, которая складывается из сил давления и трения, распределенных по боковой поверхности объема. Обозначим вектор равнодействующих всех сил через . Тогда

,

или после сокращения на dt

. (8.10)

Таким образом, при установившемся движении вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих на жидкость в фиксированном объеме, равен геометрической разности количеств движения жидкости, вытекающей из этого объема и втекающей в него за единицу времени. В этом заключается теорема Эйлера об изменении количества движения жидкого объема.

Уравнение (8.10) можно записать в виде

(8.11)

и в соответствии с этим построить замкнутый треугольник (или многоугольник) векторов, как показано на рис. 8.1. В связи с тем что в уравнении (8.11) вектор , имеет знак «минус», при построении он направлен в сторону, обратную действительному его направлению. То же уравнение (8.11) можно записать и в проекциях на ту или иную ось.

В качестве примера определим силу воздействия потока жидкости на преграду. Пусть жидкость вытекает в атмосферу и наталкивается на безграничную стенку, установленную нормально к потоку. В результате жидкость растекается по стенке, изменяя направление своего течения на 90° (рис. 8.2). Известны площадь сечения потока S, скорость истечения и плотность жидкости .

Рис. 8.2. Воздействие струи на преграду

Для решения данной задачи берем фиксированный объем, показанный штриховой линией, и применяем теорему Эйлера. Так как давление внутри струи и по поверхности жидкости равно атмосферному, т.е. избыточное давление равно нулю, уравнение, выражающее теорему Эйлера, для направления, совпадающего с вектором скорости истечения , будет иметь вид

. (8.12)

Это и есть сила воздействия потока жидкости на преграду. При другом угле установки стенки или других ее форме и размерах в правую часть формулы (8.12) вводится безразмерный коэффициент, отличный от единицы, но пропорциональность силы F произведению сохраняется.