11. Подобие гидромеханических процессов

11.1. Числа и критерии подобия

Наряду с аналитическими расчетами гидравлических задач широко применяют экспериментальные исследования гидравлических явлений, происходящих при движении жидкостей. Сочетание теоретических расчетов и экспериментальных данных позволяет получать надежные и точные результаты для последующего их использования.

Экспериментальные исследования подразделяются на натурные и модельные. Натурные исследования (испытания) проводят на действующем объекте. Их целью является изучение каких-либо характеристик объекта или отдельных его частей под влиянием всей совокупности процессов, протекающих в объекте данной геометрической конфигурации и конкретного конструктивного исполнения.

Модельные исследования проводят на специально создаваемых стендах – экспериментальных установках. Их целью является детальное изучение отдельных процессов, протекающих в реальных объектах. В результате исследований на моделях получают поправочные коэффициенты к теоретическим формулам или эмпирические формулы, отражающие зависимости между отдельными параметрами, которые характеризуют изучаемое явление.

Результаты эксперимента на моделях могут быть соответствующим образом перенесены на натуру только при условии соблюдения законов подобия.

Для установления законов подобия разделим все экспериментально изучаемые явления и процессы на две группы.

Первая группа - это процессы, которые математически описаны, т.е. дифференциальные уравнения этих процессов существуют. Опыты же проводятся для того, чтобы найти пути решения этих уравнений или сравнить результаты эксперимента с решениями уравнений, если они получены.

Другая группа процессов и явлений еще не имеет уравнений, их описывающих. Тогда опыты ставятся для того, чтобы установить законы, управляющие исследуемыми явлениями, записать эти законы в виде некоторых математических соотношений и распространить указанные результаты на случаи, для которых эксперимент не производился.

В зависимости от того, к какой группе относится изучаемое явление, определяется метод нахождения безразмерных параметров, называемых числами подобия. Если уравнение дано (хотя и нет его решений), то числа подобия, как будет показано далее, легко находятся из анализа уравнений. В начальной стадии изучения некоторых сложных явлений, когда еще нет описывающих их уравнений, а иногда нет вообще математической постановки задачи, единственным методом получения чисел подобия, определяющих процесс, является теория размерности.

На примере уравнений гидромеханики рассмотрим метод анализа уравнений. Для выяснения условий, при соблюдении которых уравнения движения будут одинаковы или движения подобны, напишем уравнения Стокса для плоского случая в безразмерном виде. В качестве масштаба длины выберем какой-либо характерный размер тела l (хорда крыла, диаметр или радиус трубы и др.), а масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и пр. - их характерные значения (на бесконечности, средние по объемным, массовым расходам и пр.).

Обозначая безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с черточкой, произведем следующую замену:

(11.1)

За масштаб времени взято время, характерное для данного движения, а за масштаб массовых сил, отнесенных к единице массы - ускорение силы тяжести.

После подстановки написанных выражений в уравнение Стокса получим уравнения плоского движения и уравнение неразрывности

;

;

. (11.2)

Разделив первые два уравнения на и третье на и опустив для простоты письма черточки над буквами, получим

;

;

. (11.3)

Из этой системы следует, что если два потока подобны, т.е. они определяются одинаковыми уравнениями и одинаковыми граничными и начальными условиями, представленными в безразмерном виде, то для этих двух потоков должны быть одинаковы следующие безразмерные величины:

. (11.4)

Обычно в теории подобия пользуются комбинациями указанных величин, каждая из которых имеет свое название и обозначается следующим образом:

- число Струхаля; (11.5)

- число Фруда; (11.6)

- число Эйлера; (11.7)

- число Рейнольдса. (11.8)

Условие одинаковости чисел, характеризующих подобие, обозначается словом idem, т.е. Sh = idem, Re = idem и т.д.

Число Эйлера для сжимаемой жидкости

, (11.9)

где - скорость звука;

- показатель адиабаты;

М - отношение скорости потока к скорости звука.

Следовательно, число Eu для сжимаемой жидкости заменяется числами k и М. Используя уравнение энергии в безразмерном виде, можно показать, что каждая из этих величин в отдельности должна быть одинакова для двух подобных потоков, т.е. k = idem и М = idem. Таким образом, в подобных потоках сжимаемой жидкости будет

Sh = idem, Re = idem, Fr = idem, M = idem и = idem.

Число Re, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости, может быть представлено в виде

. (11.20)

Подобие поверхностных сил давления определяется равенством чисел М и k или при малых скоростях потоков - числом Эйлера. Если скорость звука

, (11.21)

где m - молекулярный вес,

то число М будет иметь вид

. (11.22)

Из формулы видно, что при одной и той же скорости движения и мало меняющихся k и g значение числа М пропорционально корню квадратному из величины молекулярного веса среды и обратно пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры.

Число Эйлера Eu характеризует отношение нормальных поверхностных сил давления к силам инерции и равно отношению перепада давлений в двух точках потока к скоростному напору. В большинстве задач гидродинамики величина давления и скорости в любой точке потока однозначно определяется числом Re. При движении жидкости в трубах число Eu выражает безразмерную величину сопротивления и зависит лишь от числа Re

. (11.23)

Число Струхаля Sh характеризует составляющие инерционных сил, зависящих от времени. При этом может быть два случая:

1) когда нестационарность движения задается граничными условиями (машущее крыло, винт, колесо турбины и пр.);

2) когда нестационарность может являться следствием стационарного обтекания какого-либо тела, т.е. движение будет нестационарным по своей внутренней сущности.

Число , в отличие от других чисел подобия, явно не зависит от параметров потока. Оно полностью определяется физическими свойствами газов, и зависимость его величины от параметров газа довольно сложна. При некоторых упрощениях можно считать, что величина зависит от числа атомов в молекуле. Для одноатомных газов k = 1,66, двухатомных k = 1,4, трехатомных k = 1,27; для молекулы с бесконечным числом атомов k стремится к единице.

Действительные значения показателя изэнтропы для различных газов в зависимости от температуры можно найти в термодинамических таблицах. Влияние величины числа k на обтекание существенно лишь при числах М значительно больших единицы.

Для полного моделирования необходимо полное подобие процессов, т.е. равенство чисел подобия. Но обычно пользуются приближенным моделированием, при котором подобие сохраняется по числам, наиболее характерным для данного процесса. Так, например, при стационарных процессах числа Sh не имеют значения. При изучении движения жидкости в трубе самым существенным числом будет число Рейнольдса. При испытании моделей турбомашин (турбины, насосы, компрессоры) необходимо равенство чисел Sh и Еu.