5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона

Рассмотрим механику переноса количества движения, вследствие которого возникают поверхностные силы трения в движущихся жидкостях и газах. В отличие от идеальных жидкостей, в которых имеют место только нормальные составляющие поверхностных сил, в реальных жидкостях наличие вязкости вызывает появление касательных составляющих и изменяет величину нормальных составляющих.

В покоящейся жидкости, а также в жидкости, совершающей поступательное движение или вращающейся как одно целое, наличие вязкости не вызывает касательных сил, а нормальные составляющие могут определяться так же, как и для идеальной жидкости.

Вязкость вызывает появление внутреннего трения только в том случае, когда происходит движение частиц жидкости относительно друг друга. Если вспомнить, что по первой теореме Гельмгольца скорость частицы складывается из поступательной, вращательной и деформационной составляющих, то, следовательно, внутреннее трение в жидкости может возникать только при наличии деформации жидкого объема. Тогда естественно, что компоненты напряжения поверхностных сил должны зависеть от составляющих скоростей деформации.

Еще Ньютон показал, что в случае движения реальной жидкости параллельно некоторой плоскости касательное напряжение между двумя слоями, отнесенное к единице длины, будет пропорционально производной от скорости по нормали к направлению движения

. (5.30)

Если задать прямолинейное движение в плоскости ху параллельно оси x, то тогда величина будет являться одной из компонент напряжения и будет равна

, (5.31)

при направлении движения параллельно оси у получим

. (5.32)

Следовательно, при произвольном движении в плоскости ху напряжение сил трения, равное одной из касательных компонент , входящих в тензор напряжений, будет равно

. (5.33)

Соответственно для плоскостей xz и уz получим

; (5.34)

. (5.35)

Соотношения (5.33) - (5.35) являются обобщением формулы Ньютона (5.30) и, таким образом, выражают обобщенный закон Ньютона для касательных напряжений.

Если касательные напряжения выражать через скорости скашивания углов, то обобщенный закон Ньютона будет гласить, что в общем случае касательные напряжения будут пропорциональны скорости скашивания углов. Коэффициенты пропорциональности во всех случаях являются коэффициентами вязкости. Обобщенный закон Ньютона и многочисленные последующие опыты позволяют сделать вывод о том, что при не очень больших градиентах скоростей компоненты тензора напряжений являются линейными функциями от составляющих тензора скоростей деформации. Так как в гидромеханике обычно рассматриваются изотропные жидкости, то можно считать, что коэффициенты этих функций не зависят от выбора системы координат.

Для нахождения нормальных составляющих напряжений необходимо, кроме обобщенного закона Ньютона о линейности связи напряжений и скоростей деформации, сделать еще допущение о том, что компоненты нормальных напряжений при отсутствии вязкости должны приводиться к нормальным напряжениям, не зависящим от выбора направления площадки. Обозначим эти не зависящие от направления площадки напряжения временно буквой А. Тогда компоненты нормальных напряжений

. (5.36)

При этом и отличны от нуля только в вязкой жидкости. Если линейную связь между величинами , и соответствующими компонентами тензора скоростей деформаций представить в виде

, (5.37)

то выражения для запишутся

(5.38)

Величина А, не зависящая от выбора направления площадки, т.е. одинаковая для всех нормальных компонент напряжения, может быть найдена из соотношений (5.38)

. (5.39)

Если (как и в идеальной жидкости) принять для вязкой жидкости или газа допущение, что давление в точке есть взятое с обратным знаком среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в этой точке, то

, (5.40)

и величина А будет равна

. (5.41)

Подставив найденное значение для А в соотношения (5.38), окончательно получим выражение обобщенного закона Ньютона для нормальных составляющих напряжений

(5.42)

Таким образом, соотношения (5.33) - (5.35) и (5.42) выражают обобщенный закон Ньютона для связи напряжений и скоростей деформаций.

Жидкости, у которых связи компонентов тензора напряжения и компонентов тензора скоростей деформации выражаются соотношениями (5.33) - (5.35) и (5.42), называются ньютоновскими или просто вязкими жидкостями. Опытом установлено, что эти соотношения сохраняются для всех газов и большинства реальных жидкостей, таких как вода, спирты, керосин, жидкие металлы, многие масла.