11.3. Методы моделирования

Различают физическое, аналоговое и численное моделирование. При физическом моделировании на модели исследуют явление, имеющую такую же физическую природу, что и происходящее в натуре.

Исследования на моделях проводят с учетом правил моделирования, или «правил подобия»:

1) процессы на модели должны быть той же физической природы, что и в натурных условиях;

2) условия однозначности для процессов на модели и в натурных условиях должны быть подобными;

3) безразмерные комплексы, составленные из размерных величин, входящих в описание условий однозначности, должны быть равны (или изменяться в одинаковых пределах).

При выполнении этих правил осуществляется физическое моделирование, когда на модели исследуют явление, имеющее такую же физическую природу, что и происходящее в натуре.

Численное моделирование представляет собой решение гидравлических задач с помощью численных методов на ЭВМ без выполнения лабораторных исследований.

Процессы различной физической природы, описывающиеся математически тождественными уравнениями, называются аналогичными. При организации на модели аналогичных процессов с выполнением второго и третьего правил осуществляется моделирование по методу аналогий (или математическое моделирование).

11.4. Методы аналогий

Если два или несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одним и тем же дифференциальным уравнением с сохранением граничных условий, то эти явления называют аналогичными.

В механике жидкостей и газов успешно используются электрические, газогидравлические, акустические, магнитные, тепловые, и другие виды аналогий. Наиболее часто используются следующие аналогии: 1) электрогидродинамическая (ЭГДА); 2) газогидравлическая (ГАГА); 3) магнитогидродинамическая (МАГА); 4) мембранная; 5) ламинарная; 6) тепловая и 7) диффузионная.

Первые пять аналогий относятся к аналогиям безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости, потенциал скорости и функция тока которого удовлетворяют уравнению Лапласа

(11.33)

Граничные условия для тела, обтекаемого потенциальным потоком идеальной жидкости, будут:

а) на поверхности тела вследствие непроницаемости твердой стенки нормальная составляющая скорости равна нулю, т. е.

(11.34)

б) на бесконечности при плоскопараллельном потоке, направленном вдоль оси х,

и . (11.35)

Электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА) основывается на том, что электрический потенциал и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа. Для осуществления аналогии должны соблюдаться следующие соответствия.

1. Если в электрическое поле поместить тело из непроводящего материала, то гидродинамическим величинам - потенциалу скорости, функции тока и скорости на бесконечности соответствуют электрический потенциал, функция тока и напряженность электрического тока на бесконечности.

2. Если тело проводник, то потенциалу скоростей в гидродинамическом поле будет соответствовать функция тока в электрическом поле, а функция тока соответствует электрическому потенциалу. Соответствие скорости и напряженности электрического поля на бесконечности остается прежним.

Магнитогидродинамическая аналогия (МАГА) основана на том, что скалярный потенциал магнитного поля удовлетворяет при постоянном значении магнитной проницаемости уравнению Лапласа

. (11.36)

Так как компоненты напряженности магнитного поля равны

, (11.37)

то, при выполнении одинаковых граничных условий магнитному потенциалу будет соответствовать гидродинамический потенциал, а проекциям скорости в потоке жидкости будут соответствовать проекции вектора напряженности магнитного поля.

Мембранная аналогия основана на том, что прогиб ненагруженной мембраны z удовлетворяет уравнению Лапласа

, (11.38)

т.е. прогиб соответствует гидродинамической функции и, следовательно, поверхность мембраны изображает поверхность любой гармонической функции х и у. Тогда скорость плоского потока несжимаемой жидкости можно определить через прогиб в виде

. (11.39)

Уравнение нагруженной мембраны является уравнением Пуассона и имеет вид

, (11.40)

где р - избыточное давление на мембрану;

- ее натяжение.

Последнее уравнение имеет в гидродинамике своим аналогом уравнение для функции тока плоского вихревого движения идеальной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат

, (11.41)

где - угловая скорость вращения системы координат.

Ламинарная аналогия основана на том, что, для ламинарного движения вязкой жидкости между двумя близко расположенными пластинками существует потенциал средних скоростей. Следовательно, если между пластинками поместить какое-либо тело (цилиндр), то спектр обтекания его будет соответствовать обтеканию этого тела идеальной жидкостью.

Ламинарная аналогия имеет то преимущество, что она дает непосредственную визуализацию линий тока, в том числе и для неустановившихся процессов. Ее недостаток - меньшая точность измерений и некоторое отклонение за счет прилипания жидкости к обтекаемым телам.

Газогидравлическая аналогия (ГАГА) - это аналогия между движением газа при больших скоростях потока и движением жидкости на мелководье. Разработана для двух случаев: а) аналогия между одномерным движением газа и потоком жидкости по руслу, имеющему заданную форму поперечного сечения и б) аналогия между двухмерным движением газа и движением жидкости в канале прямоугольного сечения.