7.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения

Если во всей области движения , то существует потенциал скорости , т.е. по формуле (3.55)

(7.7)

или

.

Тогда уравнение Эйлера в форме Громека (7.6) примет вид

.

Следовательно, выражение в скобках может зависеть только от времени, а от координат не зависит. Интеграл этого уравнения будет

,

где определяется из граничных условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

Когда массовые силы являются только силами тяжести, потенциал этих сил принимает вид U = gz, а интеграл Коши

. (7.8)

В уравнении (7.8) имеется два неизвестных и р, поэтому для решения задачи следует воспользоваться уравнением неразрывности

.

Подставляя в это уравнение значения проекций скорости по формуле (7.7), получим

. (7.9)

Уравнение (7.9) является уравнением Лапласа, решая которое можно найти . Подставив значение в уравнение (7.8) и имея в виду, что

,

определим давление р. Произвольная функция будет найдена по величине р(t) в некоторой точке.

Если движение стационарно, т.е. , то уравнение (7.8) примет вид

. (7.10)

Этот интеграл уравнений Эйлера называется интегралом Бернулли для потенциального стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости. Постоянная будет одной и той же для всей области потенциального потока. Этот интеграл, часто называемый уравнением Бернулли, имеет большое значение для всей гидромеханики. Из уравнения Бернулли видно, что во всей области безвихревого потока энергия жидкости в единице массы остается постоянной. Первое слагаемое выражения (7.10) является кинетической энергией, второе - потенциальной и третье - работой сил давления.

Умножив все слагаемые уравнения (7.10) на величину плотности, получим интеграл Бернулли в виде суммы слагаемых, имеющих размерность давления

, (7.11)

где р - пьезометрический напор;

- скоростной или динамический напор;

- геометрический напор;

- полный напор.

В соответствии с уравнением (7.11) сумма динамического, пьезометрического и геометрического напоров во всей области потенциального потока остается величиной постоянной.

Разделив обе части уравнения (7.11) на g, получим уравнение Бернулли в виде

. (7.12)

Каждый член, входящий в уравнение (7.12), имеет размерность длины. Величину называют динамической высотой, - пьезометрической и z - геометрической высотой.

Согласно уравнению (7.12) сумма динамической, геометрической и пьезометрической высот во всей области потенциального потока остается величиной постоянной.

При отсутствии массовых сил интеграл Бернулли запишется в виде

(7.13)

или

.

Если в уравнении (7.11) скорость V будем считать равной нулю, то получим интеграл уравнения Эйлера для гидростатики .

Для того чтобы проинтегрировать уравнения Эйлера (7.2) вдоль линии тока, проделаем некоторые преобразования. Умножим уравнения (7.2) соответственно на dx, dy, dz

Затем, сложив почленно и разделив на , получим

. (7.14)

Отдельные слагаемые левой части уравнения, имея в виду стационарность потока, представим в виде

Уравнение (7.14) будет справедливо лишь на линии тока, если между элементами дуги и скоростью будут соблюдаться соотношения (3.13)

или

.

Используя последние равенства, получим

;

так как выражение в скобках представляет собой полный дифференциал. Окончательно левая часть уравнения (7.14) может быть представлена следующим образом

.

Тогда, полагая наличие потенциала массовых сил, уравнение (7.14) запишем в виде

или

. (7.15)

При постоянной плотности, что соответствует несжимаемой жидкости, получим

.

Это уравнение можно легко проинтегрировать. Интегралом будет

или, имея в виду выражение потенциала сил тяжести, запишем

. (7.16)

Выражение (7.16) называется интегралом или уравнением Бернулли для линии тока.

Это уравнение получено при отсутствии предположения о потенциальности потока. Таким образом, выражение (7.16) справедливо также вдоль линии тока в случае вихревого движения. Уравнение (7.16) тождественно с уравнением Бернулли для потенциального потока. Различие состоит в том, что при потенциальном потоке постоянная С сохраняет свое значение для всей области потока, а при вихревом потоке каждая линия тока имеет свое значение постоянной С. Если все линии тока начинаются в области, в которой жидкость покоится или движется равномерно и прямолинейно, постоянная С будет одинакова для всех линий тока. В случае вихревого движения постоянная С сохраняет свое значение и вдоль вихревой линии.

Когда плотность жидкости не постоянна, вид интеграла Бернулли определяется зависимостью плотности жидкости от параметров потока. Наиболее простым с точки зрения математики является движение, при котором плотность есть функция только от давления. Жидкости, плотность которых есть функция давления, называются баротропными. Для баротропных жидкостей плотность равна

.

Тогда уравнение (7.15) для стационарного потока при наличии потенциала массовых сил будет

.

Если ввести интеграл в виде

, (7.17)

то получим

или

.

Последнее выражение есть интеграл Бернулли для баротропного движения.

Интеграл Бернулли для одномерного баротропного движения при отсутствии массовых сил имеет вид

,

где Р - так называемая функция давления, значение которой определяется из выражения (7.17) при заданной связи между плотностью и давлением.

Для изотермического процесса функция давления равна

,

следовательно, интеграл Бернулли будет иметь вид

. (7.18)

Жидкости, плотность которых есть функция не только давления, но и температуры, называют бароклинными. При течении бароклинных жидкостей их плотность определяется в виде

. (7.19)

Интеграл Бернулли является одним из основных уравнений гидравлики (механики жидкости и газа) и широко применяется в различных своих формах.