- •Введение
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предмет механики жидкости и газа
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •2. Основные физические свойства жидкостей и газов
- •2.1. Физическое строение жидкостей и газов
- •2.2. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2.3. Гипотеза сплошности
- •2.4. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.5. Неньютоновские жидкости
- •2.6. Термические уравнения состояния
- •2.7. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси.
- •2.8. Законы переноса
- •2.9. Требования к рабочим жидкостям
- •3. Основы кинематики сплошных сред
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •3.5. Вихревое и безвихревое (потенциальное) движения
- •4. Силы, действующие в жидкостях
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Напряжения поверхностных сил
- •4.3. Напряженное состояние
- •5. Общие законы и уравнения статики и динамики жидкостей и газов
- •5.1. Уравнения движения в напряжениях
- •5.2. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •5.5. Примеры аналитических решений уравнений Навье-Стокса для ламинарного движения в цилиндрических трубах
- •6. Абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред
- •6.1. Основная формула гидростатики
- •6.2. Определение сил давления покоящейся среды на плоские и криволинейные стенки
- •6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости
- •Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:
- •7. Модель идеальной (невязкой) жидкости
- •7.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •7.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента количества движения
- •8.1. Законы сохранения
- •8.2. Закон изменения количества движения
- •8.3. Закон изменения момента количества движения
- •8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •9. Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах
- •10. Турбулентность и ее основные статистические характеристики
- •10.1. Турбулентное течение
- •10.2. Осредненные параметры и пульсации. Стандарт пульсационной скорости и степень турбулентности
- •10.3. Двухслойная модель турбулентности
- •11. Подобие гидромеханических процессов
- •11.1. Числа и критерии подобия
- •11.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •11.3. Методы моделирования
- •11.4. Методы аналогий
- •12. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •12.1. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •12.2. Гидравлические потери (общие сведения)
- •13. Ламинарное течение в круглых трубах
- •13.1. Течение при больших перепадах давления
- •13.2. Ламинарное течение с облитерацией
- •13.3. Ламинарное течение с теплообменом
- •14. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •14.1. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •15. Местные гидравлические сопротивления
- •15.1. Внезапное расширение русла
- •15.2. Внезапное сужение русла
- •15.3. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •16. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •16.1. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •17. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •17.1. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •17.2. Гидравлический удар
- •18. Расчет простых трубопроводов
- •18.1. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •18.2. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •18.3. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •18.4. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •19. Расчет сложных трубопроводов
- •19.1. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •19.2. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
11.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
Если бы не было уравнений движения, то указанные числа подобия так же, как и числа подобия любых физических явлений можно получить из теории размерности.
Размерность данной физической величины определяется соотношением между ней и теми физическими величинами, которые приняты как основные. В каждой системе единиц имеются свои основные единицы. В международной системе единиц основными являются: длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила электрического тока - ампер, термодинамическая температура - градус Кельвина и сила света - свеча.
Размерность остальных физических величин, так называемых производных единиц, принимается на основании физических законов, устанавливающих связь между ними. Эта связь может быть представлена в виде формулы, называемой формулой размерности.
Теория размерностей основана на двух положениях:
1) отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения. Например, отношение двух площадей не зависит от того, в каких единицах будут измеряться площади;
2) всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. Это положение в теории размерности называют П-теоремой.
Не приводя доказательств, укажем, что из первого положения следует, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, т.е.
, (11.24)
где и - размерность основных единиц.
Математическое выражение П-теоремы можно представить в таком виде: если размерная величина а является функцией независимых между собой размерных величин , т.е.
, (11.25)
где - число основных размерных величин, то безразмерных комбинаций Пi указанных размерных величин могут быть представлены в виде
;
;
................................
. (11.26)
Для примера установим зависимость коэффициента сопротивления крыла . Допустим, что зависит от следующих размерных величин: плотности , вязкости , скорости полета V и линейного размера крыла l. Тогда
. (11.27)
Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерную комбинацию указанных физических величин, представив их размерность степенным одночленом
. (11.28)
Для нахождения показателей a, d, с и п подставим в эту формулу значения размерностей физических величин в некоторой системе единиц. Выберем международную систему СИ. Тогда будем иметь
. (11.29)
Подставив эти величины в степенной одночлен, получим
, (11.30)
откуда относительно основных единиц измерения будем иметь три следующих уравнения
для кг: a + d = 0;
для м: - 3a - d + c + n = 0;
для сек:- в - с = 0. (11.31)
Решим эту систему, считая один из показателей степени, например п, известным. Получим а = с = п; d = - п. Таким образом, найдем безразмерную величину, от которой зависит
. (11.32)
Следовательно, зависит от числа Re. Показатель степени числа Re можно найти из эксперимента или каких - либо дополнительных соображений о механизме сопротивления крыла. Аналогичным образом с помощью теории размерности можно получить и другие числа подобия для гидродинамических процессов.