- •Введение
- •1. Вводные сведения
- •1.1. Предмет механики жидкости и газа
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •2. Основные физические свойства жидкостей и газов
- •2.1. Физическое строение жидкостей и газов
- •2.2. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2.3. Гипотеза сплошности
- •2.4. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.5. Неньютоновские жидкости
- •2.6. Термические уравнения состояния
- •2.7. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси.
- •2.8. Законы переноса
- •2.9. Требования к рабочим жидкостям
- •3. Основы кинематики сплошных сред
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •3.5. Вихревое и безвихревое (потенциальное) движения
- •4. Силы, действующие в жидкостях
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Напряжения поверхностных сил
- •4.3. Напряженное состояние
- •5. Общие законы и уравнения статики и динамики жидкостей и газов
- •5.1. Уравнения движения в напряжениях
- •5.2. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.3. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.4. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •5.5. Примеры аналитических решений уравнений Навье-Стокса для ламинарного движения в цилиндрических трубах
- •6. Абсолютный и относительный покой (равновесие) жидких сред
- •6.1. Основная формула гидростатики
- •6.2. Определение сил давления покоящейся среды на плоские и криволинейные стенки
- •6.3. Относительный покой (равновесие) жидкости
- •Следовательно, вместо уравнения (6.5) можно записать:
- •7. Модель идеальной (невязкой) жидкости
- •7.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •7.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •8. Общая интегральная форма уравнений количества движения и момента количества движения
- •8.1. Законы сохранения
- •8.2. Закон изменения количества движения
- •8.3. Закон изменения момента количества движения
- •8.4. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •9. Общее уравнение энергии в интегральной и дифференциальной формах
- •10. Турбулентность и ее основные статистические характеристики
- •10.1. Турбулентное течение
- •10.2. Осредненные параметры и пульсации. Стандарт пульсационной скорости и степень турбулентности
- •10.3. Двухслойная модель турбулентности
- •11. Подобие гидромеханических процессов
- •11.1. Числа и критерии подобия
- •11.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •11.3. Методы моделирования
- •11.4. Методы аналогий
- •12. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •12.1. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •12.2. Гидравлические потери (общие сведения)
- •13. Ламинарное течение в круглых трубах
- •13.1. Течение при больших перепадах давления
- •13.2. Ламинарное течение с облитерацией
- •13.3. Ламинарное течение с теплообменом
- •14. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •14.1. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •15. Местные гидравлические сопротивления
- •15.1. Внезапное расширение русла
- •15.2. Внезапное сужение русла
- •15.3. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •16. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •16.1. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •17. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •17.1. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •17.2. Гидравлический удар
- •18. Расчет простых трубопроводов
- •18.1. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •18.2. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •18.3. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •18.4. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •19. Расчет сложных трубопроводов
- •19.1. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •19.2. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
Расходом называется количество жидкости, протекающее через живое сечение потока (струйки) в единицу времени. Под живым сечением, или просто сечением потока, понимают в общем случае поверхность в пределах потока, проведенную нормально к линиям тока.
Это количество можно измерить в единицах объема, в весовых единицах или в единицах массы, в связи с чем различают объемный Q, весовой и массовый расходы. Для элементарной струйки, имеющей бесконечно малые площади сечений, можно считать истинную скорость V одинаковой во всех точках каждого сечения. Следовательно, для этой струйки объемный ( ), весовой ( ) и массовый ( ) расходы будут равны:
(3.14)
где dS - площадь сечения струйки.
Основываясь на законе сохранения вещества, на предположении о сплошности (неразрывности) течения и на указанном выше свойстве трубки тока, заключающемся в ее «непроницаемости», для установившегося течения несжимаемой жидкости можно утверждать, что объемный расход во всех сечениях элементарной струйки один и тот же:
(вдоль струйки). (3.15)
Это уравнение называется уравнением объемного расхода для элементарной струйки.
Рассмотрим понятие о потоке вектора скорости. В векторном анализе потоком любого вектора а называется интеграл по некоторой поверхности от проекции вектора а на нормаль n в каждой точке поверхности, т.е.
. (3.16)
Соответственно с этим поток вектора скорости определяется величиной, равной
. (3.17)
Поток вектора скорости физически представляет собой объемный расход некоторой жидкости (среды) через поверхность .
Если поверхность замкнутая, то при отсутствии внутри поверхности источников и стоков поток вектора скорости через замкнутую поверхность будет равен нулю
. (3.18)
Для потока конечных размеров скорость имеет различное значение в разных точках сечения, поэтому расход надо определять как сумму элементарных расходов струек, т.е.
. (3.19)
Обычно в рассмотрение вводят среднюю по сечению скорость , откуда в соответствии с выражениями (3.17) - (3.19) получаем
(вдоль потока). (3.20)
Аналогично уравнению (3.15) можно составить уравнение и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, только вместо истинных скоростей следует ввести средние скорости. В результате будем иметь:
(вдоль потока). (3.21)
Из последнего уравнения следует, что средние скорости в потоке несжимаемой жидкости обратно пропорциональны площадям сечений. Уравнение расхода является следствием общего закона сохранения вещества для частных условий, в частности для условий сплошности (неразрывности) течения.
При наличии источника поток вектора скорости будет составлять
, (3.22)
а при наличии стока
. (3.23)
3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
На движение сплошных сред распространяются общие законы природы. Среди этих законов особенно важное и наиболее общее значение имеют законы сохранения. В механике обычно рассматриваются законы сохранения четырех величин: массы, количества движения, момента количества движения и энергии. Все законы сохранения относятся к так называемым изолированным системам. Будем в дальнейшем называть систему изолированной или замкнутой в том случае, если через контрольную поверхность - окружающую систему - нет переноса массы, количества движения и энергии. На изолированную систему не действуют внешние силы.
Закон сохранения массы для изолированной системы выражается в том, что масса m такой системы остается постоянной во все время движения, т.е. количество вещества остается постоянным или
. (3.24)
Общий закон сохранения массы применительно к сплошным средам получает свое выражение в уравнении неразрывности или сплошности движения. Для получения этого уравнения при отсутствии источников или стоков массы применим закон сохранения массы к некоторому элементарному объему , движущемуся вместе со средой, имеющей плотность . Так как
(3.25)
то , (3.26)
или . (3.27)
Относительное изменение объема в данной точке за единицу времени равно дивергенции вектора скорости в данной точке, т.е.
. (3.28)
Тогда уравнение неразрывности движения примет вид
. (3.29)
Если плотность зависит и от времени и от координат, т.е. , то
(3.30)
Подставив это выражение в (3.29), получим другой вид уравнения неразрывности (в проекциях на прямоугольные оси)
(3.31)
или
. (3.32)
Последние слагаемые составляют дивергенцию , поэтому уравнение (3.29) в дифференциальной форме имеет вид
. (3.33)
Для стационарного движения, при котором , уравнение неразрывности примет вид
. (3.34)
При наиболее простом случае движения, когда плотность жидкости постоянна и не зависит от координат и времени, т.е. , уравнение неразрывности будет иметь вид
. (3.35)
Уравнение неразрывности (сплошности) также может быть представлено в интегральной форме в виде
, (3.36)
где S - поверхность, ограничивающая объем .
При установившемся движении для элементарной струйки идеальной жидкости уравнение неразрывности может быть представлено также в гидравлической форме в соответствии с выражением (3.15), а для полного живого сечения трубки тока конечных размеров при равномерном распределении параметров среды по сечению - выражением (3.21).