5. Общие законы и уравнения статики и динамики жидкостей и газов

5.1. Уравнения движения в напряжениях

Это уравнение можно получить путем применения теоремы об изменении количеств движения к некоторому элементарному объему сплошной среды. В соответствии с ранее сказанным все внешние силы складываются из массовых и поверхностных. Следовательно, главный вектор внешних сил можно представить как сумму двух указанных главных векторов сил: объемных и поверхностных . Тогда в соответствии с теоремой об изменении количеств движения получим

. (5.1)

Но , (5.2)

так как есть масса жидкости в объеме , которая остается постоянной во все время движения.

Используя последнее соотношение, получим выражение известного в механике принципа Даламбера

, (5.3)

согласно которому уравнение динамики можно свести к уравнению статики, если к внешним силам присоединить силы инерции.

Применим теорему об изменении количеств движения к массе, заключенной в объеме элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy и dz. Тогда вектор массовых сил можно представить в виде

, (5.4)

где - вектор массовых сил, отнесенный к единице массы.

Найдем теперь главный вектор поверхностных сил. На рис. 5.1 показаны напряжения поверхностных сил, приложенных к граням, нормальным к оси х. Легко показать аналогичную схему напряжений, приложенных к граням, нормальным к осям у и z.

Рис. 5.1. Схема напряжений поверхностных сил

Спроектируем составляющие поверхностных сил на ось х. Рассмотрение сил, приложенных к граням, нормальным к оси х приводит к выражению

, (5.5)

к граням, нормальным к оси у, -

, (5.6)

к граням, нормальным к оси z -

. (5.7)

Таким образом, проекция главного вектора поверхностных сил на ось х будет

. (5.8)

Соответственно проектирование на оси у и z дает

; (5.9)

. (5.10)

Тогда в соответствии с формулой (5.3) получим уравнения, отнесенные к единице объема, в проекциях на прямоугольную систему координат

;

; (5.11)

.

Так как вектора напряжений поверхностных сил и , приложенных к площадкам, нормальным осям х, у и z, по формулам (4.7) равны

;

; (5.12)

,

то уравнение в векторном виде, соответствующее уравнениям в проекциях (5.11), будет

. (5.13)

Уравнения (5.11) и (5.13) являются уравнениями движения сплошных сред в напряжениях; в дальнейшем их будем называть уравнениями в напряжениях.

5.2. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы

Получим дифференциальные уравнения равновесия жидкости в общем случае, когда на нее действуют не только сила тяжести, но и другие массовые силы, например, силы инерции переносного движения и т.п. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости кроме силы тяжести действуют еще силы инерции, причем если они постоянны по времени, то жидкость принимает новое положение равновесия, которое называют относительным покоем.

В неподвижной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами x, у и z и давлением р (рис. 5.2). Систему координат будем считать жестко связанной с сосудом, содержащим жидкость.

Рис. 5.2. Схема для вывода дифференциальных уравнений

равновесия жидкости

Выделим в жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz. Пусть точка М будет одной из вершин параллелепипеда. Рассмотрим условия равновесия выделенного объема жидкости. Пусть внутри параллелепипеда на жидкость действует равнодействующая массовая сила , составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема.

Давление р есть функция координат x, y и z, но вблизи точки М по всем трем граням параллелепипеда оно одинаково, что вытекает из доказанного выше свойства гидростатического давления. При переходе от точки М, например, к точке N изменяется лишь координата x на бесконечно малую величину dx, в связи с чем функция р получает приращение, равное частному дифференциалу (др /дх) dx, поэтому давление в точке N равно р + (др /дх) dx, где др /дх - градиент давления вблизи точки М в направлении оси x. Рассматривая давления в других соответствующих точках граней, нормальных к оси х, например в точках N' и М', видим, что они отличаются на одинаковую (с точностью до бесконечно малых высших порядков) величину

. (5.14)

Ввиду этого разность сил давления, действующих на параллелепипед в направлении оси х, равна указанной величине, умноженной на площадь грани: .

Аналогичным образом, но через градиенты давления др/ду и др/дz выразим разности сил давления, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют лишь указанные массовые силы и силы давления, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в направлениях трех координатных осей запишем в следующем виде:

(5.15)

Разделим эти уравнения на массу dxdydz параллелепипеда и перейдем к пределу, устремляя dx, dy и dz к нулю, т.е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения равновесия жидкости, отнесенные к точке М:

(5.16)

Уравнения (5.16) являются основными уравнениями гидростатики и часто называются уравнениями равновесия Эйлера для жидкости и газа.

Так как

и ,

то система уравнений (5.16) может быть представлена в векторном виде

. (5.17)

При относительном покое вектор плотности массовых сил включает силы инерции.

Поскольку массовые силы в большинстве случаев обладают потенциалом, то

, (5.18)

где U - потенциал массовых сил или силовая функция.

Тогда уравнению (5.17) можно придать вид

. (5.19)

Общим интегралом этого уравнения в случаях, когда , является соотношение

, (5.20)

где - функция давления (для несжимаемой жидкости ( ) ; для сжимаемой - вид функции P зависит от связи между р и ).

Если из числа массовых сил на жидкость действует только гравитационная (тяжелая жидкость), то

, (5.21)

где z - координата, отсчитываемая вертикально вверх.

Для тяжелой несжимаемой жидкости интеграл (5.20) принимает вид

. (5.22)

Эта формула выражает гидростатический закон распределения давлений.

Для практического пользования удобнее вместо приведенной системы уравнений (5.16) иметь одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений на dx, второе - на dy, третье - на dz и, сложив все три уравнения, получим:

. (5.23)

Трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, т.е. функции р(х, у, z), поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде:

. (5.24)

Следовательно, при наличии равновесия полным дифференциалом должна быть и правая часть уравнения (5.24). В частности, при постоянной плотности ( ) получим

. (5.25)

Из последнего условия видно, что массовые силы имеют потенциал U и проекции массовых сил можно выразить через потенциал в виде

(5.26)

Тогда уравнение (5.24) запишется в виде

. (5.27)

Следовательно, жидкость может находиться в равновесии только в том случае, если массовые силы, действующие в ней, имеют потенциал, т.е. проекции массовых сил удовлетворяют условию (5.26).

Поверхность, в каждой точке которой давление постоянно, называют поверхностью уровня. Если в уравнении (5.24) положить , то уравнение поверхности уровня будет

, (5.28)

или . (5.29)