3.2. Задачи и цели динамики мм

Прямой задачей динамики ММ называется определение обобщенных сил (сил и моментов сил, действующих на приводы ММ), при которых обеспечивается заданное движение звеньев ММ.

Задача, в которой по известным обобщенным силам определяется движение ММ, т.е. функции обобщенных координат q_i (t) (i=1,2, …,n), от времени, называется обратной задачей динамики ММ.

Применительно к ММ имеет смысл говорить о функциональной динамике, позволяющей из некоторого набора законов движения ММ выбрать тот, который больше отвечает условиям, вытекающим из условий функционирования ММ. Функциональная динамика тесно связана с динамическим синтезом и проблемами оптимизации ММ. Изучение динамики ММ необходимо для проведения силового расчета ММ, так как в итоге динамических расчетов определяются законы изменения обобщенных ускорений (t), использующиеся в силовом расчете.

Методы динамики ММ необходимы для конструирования методов оптимального и автоматизированного проектирования ММ, которые имеют важнейшее значение, поскольку не оптимально спроектированные ММ уже не удовлетворяют современным требованиям.

3. Кинетостатический метод составления дифференциальных уравнений динамики

Очевидно, что уравнения кинетостатики являются записанными в своеобразной форме дифференциальными уравнениями динамики звеньев механизма.

Методы составления уравнений кинетостатики, а также решения прямой задачи динамики ММ, рассмотрены в разделе «Силовой расчет ММ». При решении прямой задачи используются рекуррентные соотношения между силами и моментами. При решении обратной задачи использование рекуррентных соотношений уже невозможно, т.к. движение некоторого звена механизма зависит не только от приложенных к механизму внешних сил, но и сил инерции действующих на другие звенья механизма, а значит и от движений этих звеньев. Поэтому решение обратной задачи динамики требует составление полной системы динамических уравнений, включающей уравнения движения всех звеньев механизма. Такая система уравнений может быть получена на основе соотношений (1.5.5) которые можно представить в виде системы уравнений в матричной форме

Ф + = , (3.1)

где ={q₀ , q₁ , …q_n}^T - матрица обобщенных координат;

={P₀ , P₁ , …P_n}^T – матрица обобщенных сил.

Если i-1, i кинематическая пара вращательная, то Pi = P_Mi является моментом привода для этой пары и

h_i = h_ij ,

h_ij =- I[D( ( -m_j + )+

+ -Т_j + ], (3.2)

 ^im = - I ,

где l – начальное значение индекса суммирования, являющееся функцией m=1,2, …,n;

l(m)=

Если r-1, r - кинематическая пара является поступательной, то P_r = P_Fr является силой, действующей на привод в этой паре и

h_i = h_rj ,

h_rj = - I( -m_j + ), (3.3)

 ^rm = - I .

Доказательство возможности представления соотношений (1.5.5.) и в виде (2) и (3) основано на простейших алгебраических операциях.

Действительно для i-1, i вращательной пары

= ( + +…+ )= +

+ +…+ )+…+( + +… )=

=( + +…+ ) +( + +…+ ) +…

+( + +…+ ) +( + +…

) +( + +…+ ) +…

+( + ) + = +

+ +…+ + +…

+ + =

= + .

При использовании ранее введенной функции l(m), задаваемой выражением

l(m)=

эти две суммы можно объединить в одну сумму:

= .

Аналогично

D( ) = .

Таким образом, для i-1, i вращательной кинематической пары уравнения (5.9.8) принимают вид

=- ( + )- [D( )( -

m_j + )+ -Т_j + ].

По определению, проекция ось i-1, i вращательной кинематической пары равна моменту сил, действующему на привод в этой паре, т.е.

P_mi = I = I{ ( + )+

+ [D( )( -m_j + )+ -Т_j + ]}=

 ^im + h_ij =  ^im + h_i ,

где  ^im и h_i взяты согласно (2).

Для поступательной r-1, r -кинематической пары, согласно (1.5.5) получается

P_Fr =- I[ ( + -m_j + ]=

= I[ + ( -m_j + )]=

=  ^rm + h_rj =  ^rm + h_r.

Полученные соотношения для P_mi и P_Fr совпадают с соответствующими уравнениями системы (1).

Систему (1) можно использовать и для определения статических нагрузок на приводы ММ, если положить = 0, = 0. Тогда получается система

, (3.4)

где величины

h_i = - I (D( ) + ),

h_r=- I ,

получаются из (2) и (3) путем отбрасывания членов, содержащих в качестве множителей обобщенные скорости и ускорения.

Матрица Ф связывает нагрузки на звенья ММ с обобщенными ускорениями этих звеньев. Пусть А=Ф^-1, тогда система (1) примет вид

=А( ). (3.5)

Переход от (1) к (5) практически возможен всегда, поскольку каждому соответствует вполне определенные обобщенные силы и, наоборот, каждому вектору обобщенных сил соответствует вполне определенный вектор обобщенных ускорений. Поэтому матрица Ф не может быть особенной и всегда имеет обратную матрицу. Следует отметить, что матрицы Ф и А не зависят от кинематических характеристик ММ и определяются геометрическими и динамическими характеристиками звеньев ММ.