Влияние относительного вращения роторов приводных двигателей на динамику мм
Если электро-, гидро- или пневмодвигатель вращательного движения установлен на подвижном звене ММ, то его вращающийся ротор оказывает влияние на матрицу обобщенных ускорений звеньев ММ за счет гироскопического эффекта.
Статор двигателя не меняет своего положения относительно звена, на котором он закреплен, поэтому инерционные характеристики звена с не вращающимся ротором относительно осей, связанной с звеном системы координат, не зависят от времени. Эти инерционные характеристики определяются методами, изложенными в [7].
Движение звена с вращающимся ротором можно представить как сумму движения звена с не вращающимся ротором и собственного вращения ротора.
Пусть
и
- момент инерции и вектор угловой скорости
ротора относительно его оси вращения.
Поскольку в системе координат
(или Z) вектор
не меняет направления, вектор момента
импульса ротора относительно его оси
вращения, вдоль которой направлен вектор
,
определится формулой
=
.
Проекции векторов
и
на оси системы Z (или
)
известны и поэтому определены матрицы
и
(или
и
).
Момент импульса ротора относительно центра масс S звена
=
(
)dV
=
[(
+
)
]dV,
где
- вектор-радиус, идущий из центра масс
S звена с двигателем в произвольную
точку с ротора;
- вектор-радиус, идущий из точки S в
центр масс R ротора;
- вектор-радиус, идущий из центра масс
R ротора в точку ротора С;
=
+
- абсолютная скорость точки С ротора;
=
+
- переносная скорость для точки С ротора,
обусловленная движением звена;
,
- абсолютная линейная скорость центра
масс S звена и угловая скорость вращения
звена;
=
- скорость точки С, вызванная относительным
движением ротора (его собственным
вращением).
Очевидно, что
=
(
+
(
)+(
))=
+
(
)+
(
+
)
(
).
Пусть
=
(
)dV=(
dV)
=ml(
),
=
(
(
))dV,
где ml
– масса ротора,
- момент импульса ротора, как материальной
точки, сосредоточенной в центре масс
ротора, положение которого определено
вектор - радиусом
с началом в точке S;
- момент импульса ротора, обусловленный
вращением звена.
Для всех точек
ротора векторы
и
одинаковы. Тогда
( )dV= ( dV)=0,
поскольку вектор начинается в центре масс S ротора и
dV=0.
Роторы двигателей c большой степенью точности являются симметричными относительно оси вращения звеньями, и поэтому вектор
[ ( )]dV
направлен вдоль
оси ротора, т.е. также как и вектор
и равен
.
Поэтому
=
[
(
)]dV=
-
момент импульса ротора, обусловленный его вращением относительно статора.
Моменты импульса и не зависят от и поэтому являются моментами импульса неподвижного ротора в его движении вместе со статором. Поэтому и можно отдельно не рассматривать, просуммировав их с моментом импульса звена со статором относительно центра масс S. Тогда момент импульса звена с двигателем относительно точки S при вращающимся роторе определится вектором
=
+
,
где - момент импульса звена с двигателем относительно точки S при неподвижном роторе.
Согласно теореме теоретической механики, момент внешних сил, действующий на систему тел относительно ее центра масс, равен абсолютной производной по времени от момента импульса этой системы относительно ее центра масс. В данном случае
=
.
Производную от
по времени удобно определять в системе
координат Z, как локальную производную
.
Согласно формуле Бура, известной из
курса теоретической механики
=
=
+
(
),
где - переносная угловая скорость.
Пусть
=
- момент внешних сил, вызывающий изменение
момента импульса звена с двигателем
при неподвижном роторе, а
- момент внешних сил, вызывающий изменение
момента импульса ротора
в относительном движении. Очевидно, что
=
=
+
(
)=(J*
)
+
(
)=J*
+
(
),
поскольку локальная производная учитывает изменение дифференцируемого вектора в системе координат Z, в которой J* не зависит от времени.
Тогда момент внешних сил, действующих на звено с двигателем при вращающемся роторе,
=
+
.
При
=0
и
=0,
=0
и
=
,
то есть на движущееся звено действует
дополнительный момент сил
инерционной природы и для приведения
в движение звена с двигателем при
вращающемся роторе необходим дополнительный
момент внешних сил.
Момент
=
=J*(
)
называется гироскопическим моментом вращающегося ротора двигателя.
Тогда
=J*
+
.
Момент передается на звенья механизма и влияет на реакции в кинематических парах и изменяет нагрузки на приводные двигатели. В расчетах звеньев механизма манипулятора, двигателей и в силовом расчете ММ моменты следует учитывать как внешние нагрузки.
Главный момент внешних сил для звена j с учетом момента определяется выражением
=
+
,
где
- момент сил, обусловленный вращением
ротора двигателя, установленного на
звене j;
- главный момент внешних сил с учетом
сил инерции для звена j
с двигателем при неподвижном роторе.
Поскольку вращение ротора относительно статора порождает только момент , главный вектор внешних сил для звена с двигателем при вращающемся и неподвижном относительно статора роторе двигателя будет одинаковым. Поэтому
=
.
Согласно (3.1), система дифференциальных уравнений движения механизма имеет вид
Ф
+
=
,
где ={P0 , P1 , …Pn}T – матрица обобщенных сил; ={h0 , h1 , …hn}T ; hi = hij ;
hij
=
-
I[D(
)
(
-mj
+
)+
-Тj
+
].
Пусть
={
}T
(k=1,2,3). Тогда с
учетом влияния вращающегося ротора
получаем
=-
I(D(ij)
+
-mjD(ij)
-
Тj
+
+
+
+
D(ij)
)=hij-
I
.
Тогда
=
=
hij-
I
=hi-
I
=hi+
hi.
Следовательно
=
+
,
где ={h1, h2 , …, hn}T, h i=- I .
Пусть
и
- n-мерные векторы,
определяющие законы изменения обобщенных
координат и нагрузок на приводы ММ во
времени с учетом собственного вращения
роторов приводных двигателей. Тогда на
основе (3.1) получаем систему дифференциальных
уравнений движения механизма с учетом
вращения роторов
Ф
+
=
.
Поскольку компоненты
матрицы Ф не зависят от кинематических
характеристик
=ij
и Ф=Ф.
Тогда
Ф + = .
Пусть
=
+
,
=
+
,
где , – р - мерные векторы, определяющие законы изменения обобщенных координат и нагрузок на приводные двигатели ММ при отсутствии собственного вращения роторов. Тогда
Ф(
+
)+
+
=
+
.
Поскольку
Ф + = ,
уравнения динамики для определения по (или наоборот) принимают вид
Ф + = .
Если А=Ф-1 – матрица, обратная Ф, то
=А( - ).
Отсюда следует, что добавка в , вызванная влиянием собственного вращения роторов двигателей, определяется на основе тех же соотношений динамики, из которых определяется вектор .
Следует отметить, что на динамику ММ влияют также и движущаяся по трубопроводам жидкость, питающая различные гидравлические устройства и двигатели. Основным фактором в данном случае являются силы и моменты сил Кориолиса, действующие со стороны движущихся частиц жидкости на трубопроводы, и передающиеся через них на несущие их звенья. Через реакции в кинематических парах эти силы и моменты сил передаются на соседние звенья и оказывают влияние на динамику манипулятора в целом, как системы тел.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется прямой и обратной задачами динамики?
2. В чем заключается кинетостатический метод расчета?
3. Методика построения уравнений динамики на основе
принципа возможных перемещений.
4. Как используются уравнения Лагранжа II рода при описании динамики ММ?
5. Приведите сравнительный анализ известных методов составления уравнений динамики.
4. Захватные устройства