Построение уравнений динамики мм на основе принципа возможных перемещений
В соответствии с
принципом возможных перемещений, при
неизменных связях сумма возможных
мощностей главных векторов сил
и главных моментов
для всего механизма равна определенной
для всего механизма сумме возможных
мощностей обобщенных сил, т.е. сил и
моментов сил, действующих на приводы
механизма.
Пусть
,
и
- векторы виртуальных (возможных) линейной
скорости точки приложения
,
угловой скорости звена
и обобщенной скорости звена m,
порожденные виртуальной обобщенной
скоростью
в i-1, i кинематической паре. Вектор
коллинеарен орту
оси i-1, i кинематической пары и
направлен также как и
если
0
и противоположно
при
0, а
= Pi
.
По определению
(
+
+
)=0
(i=1,2, …,n). (4.1)
Эта система уравнений применима как для разомкнутой, так и для замкнутой кинематической цепи.
Для разомкнутой
кинематической цепи можно считать, что
изменение qi, то есть
движение в i-1, i кинематической паре
не изменяет обобщенные координаты
прочих звеньев ММ, т.е. не вызывает
относительных движений в остальных
кинематических парах. При этом, очевидно,
что части кинематической цепи,
соединяющиеся i-1, i кинематической
парой, движутся друг относительно друга
как жесткие тела. В таком случае
=
,
=0
при m i.
Для разомкнутой кинематической цепи
векторы
и
определяются ранее рассмотренными
методами.
Если i-1, i
кинематическая пара поступательная,
то все звенья с номерами j
i движутся поступательно со скоростью
=
=
,
а прочие звенья неподвижны. При этом
все звенья ММ не вращаются. Таким образом
=
0 при m i,
=
при m i,
и
=
0 при всех i и m.
Если i-1, i кинематическая пара вращательная, то все звенья ММ с номерами m i неподвижны, а звенья с номерами m i вращаются с одинаковой угловой скоростью = = . Тогда если m i, то = 0, = 0. При m i
=
,
=
=
,
где
=
+
(
-
)
–
вектор- радиус, направленный из центра i-1, i пары в центр масс звена m.
В замкнутой кинематической цепи при изменении qi, как правило, изменяются одновременно с qi и несколько других обобщенных координат, т.е. движение в i-1, i кинематической паре обязательно сопровождается движениями в других кинематических парах ММ. В этом случае определение векторов , и является более сложной задачей, решаемой методами кинематики, применяемыми для замкнутых кинематических цепей.
Уравнение (1) имеет
смысл при всех
0, а значит и при
=
.
В этом случае выражение для
,
и
определяется весьма просто. Поскольку
для разомкнутой кинематической цепи
из всех
только
0,
=
=
=
=Pi
.
Тогда для разомкнутой кинематической цепи (1) принимает вид
(
+
)=
-Pi
. (4.2)
Здесь суммирование по m начинается с m=i потому, что все звенья ММ с первого по i-1 для данного i неподвижны. Это выражение следует рассматривать только как численное, поскольку размерности правой и левой его частей различны.
Для произвольной кинематической цепи в общем случае все 0. По определению
=Pm
и
=
.
Тогда
= Рm .
Согласно (1),
+
+Pm
=(
+
-mm
+
+
)
+(
+
-Тm
+
)
+
+Pm =( + ) +Pm -mm +
+( + ) + ( + ) -Тm .
Тогда
=
+(
+
)
+
(
+
+
)
+…+
(
+
+
…
+
)
= (
+
+
…+
)
+
+
(
+
+
…+
)
+
=
=
+
+
+
…
+
=
.
Очевидно, что
mm
=
mm
=
mm
,
Тm
=
Тm
,
где
,
,
и
- проекции векторов
,
,
и
на ось
системы Zi.
Если
=
+
,
=
+
,
то система уравнений (1) принимает вид
[
(
+
)+
+Pm
+
+
]- (4.3)
-
(
mm
+
Тm
)=0
(i=1,2, …,n).
Пусть
im
=
(
+
),
=
-
,
=
mm
,
=
Тm
,
=-
(
+
).
Тогда
(
im
-
Pm)-
-
(
)=
0,
или
im
=
Pm
+
(
+
)+
i
=0.
Пусть
={qi}T
,
={Pi}T
,
={
}T,
={
}T,
={
}T
, (l=1,2,3) ,
а Ф, Ф1,
Ф2, Ф3 – матрицы
соответственно размерностей n
n,
n
3
и n
3
с элементами
ij ,
,
,
.
Тогда система (3) примет вид
Ф
+Ф1
+Ф2
+Ф3
+
=
0. (4.4)
Как указывалось
выше, для разомкнутой кинематической
цепи можно положить
=
0 при m i
и можно принять, что
=1.
Тогда
=im
т.е. Ф1 =I и
Ф = +Ф2 +Ф3 + . (4.5)
Если
А=Ф-1,
В=Ф-1Ф2,
С=Ф-1Ф3
,
=
Ф-1
,
то
=А +В +С + . (4.6)
Пользуясь (5), можно определить обобщенные силы приводов по известным инерционным и кинематическим характеристикам звеньев механизма и действующим на них нагрузкам, т.е. решить прямую задачу динамики ММ. Дифференциальное уравнение (6) удобно использовать при решении обратной задачи динамики.