4. Приведение сил и моментов сил к главному вектору и главному моменту

Силы и моменты сил, приложенные к некоторому звену, приводятся к главному вектору и главному моменту методами теоретической механики. При этом принято отдельно рассматривать силы и моменты сил инерции и прочие внешние силы.

Пусть , и , - приведенные к центру масс звена j главные векторы и главные моменты сил инерции и внешних сил, действующих на звено j. Согласно принципу Даламбера силу и момент сил инерции можно считать приложенными к звену j. Тогда главный вектор силы и главный момент всех сил и их моментов, действующих на звено j, определяются соотношениями:

= + , (4.1)

= + . (4.2)

Поскольку в задачах кинематики ММ принято определять ускорения центров шарниров или элементов поступательных кинематических пар, силы, действующие на звенья механизма, удобно приводить к центрам соответствующих кинематических пар. Тогда с учетом выражений (3.4) и (3.18) для и получается:

= + -m_j + , (4.3)

= + -Т_j + , (4.4)

где

=D( )( + )+ ,

поскольку по определению = ( + )+ .

Очевидно, что матрица внешних сил определяется выражением = ( - ).

1.5. Кинетостатический метод расчета мм

Силовой расчет ММ основывается на методе сечений. Для этого кинематическая цепь ММ разрывается в , кинематической паре и рассматривается равновесие одной из частей кинематической цепи (обычно части механизма, содержащей схват) (рис. 5). Действие отброшенной части кинематической цепи на рассматриваемую кинематической часть цепи заменяется в общем случае силой и моментом , которые удобно разложить на нормальные и и параллельные и орту оси , кинематической пары составляющие (рис. 6).

В соответствии с принципом Даламбера рассматриваемая кинематическая цепь будет находиться в условном (кинетостатическом) равновесии, если к действующим на звенья этой цепи внешним силам добавить силы инерции и моменты сил инерции .

П

Рис. 1.6.

ри рассмотрении кинетостатики звеньев внешние силы и их моменты, а также силы инерции и их моменты, действующие на звено механизма, удобно приводить к центру масс звена . Согласно изложенному выше, главный вектор и главный момент звена определяется соотношениями (4.3) и (4.4)

где и - матрицы главного вектора и главного момента внешних сил, действующих на звено , приведенных к центру масс звена , определенные в системе .

В соответствии с принципом Даламбера все приложенные к звену внешние силы, силы инерции и их моменты должны уравновешиваться реакциями и моментами реакций , действующими на звено со стороны звеньев и . Тогда уравнения кинетостатики для звена имеют вид (рис. 8)

(5.1)

. (5.2)

З десь векторы и взяты со знаком минус потому, что по определению они действуют на звено со стороны звена ;

-

вектор – радиус, определяющий положение центра кинематической пары относительно центра кинематической пары.

Для определения реакций в кинематических парах удобны рекуррентные соотношения между реакциями в двух соседних кинематических парах, которые получаются из (1) – (2) и имеют вид

(5.3)

(5.4)

Двигаясь вдоль кинематической цепи рассматриваемой части механизма от последнего до первого звена, по (3) можно определить реакции во всех кинематических парах механизма. Кинематическую цепь ММ необходимо разрывать поочередно, начиная от последнего звена цепи по направлению к основному (базовому) звену. Подобный подход применим только для механизмов манипуляторов, образованных открытыми кинематическими цепями. Для прочих механизмов манипуляторов силовой расчет ведется по структурным группам.

Тогда реакции в кинематической паре и их нормальные и параллельные орту составляющие определяются по формулам

(9.4)

(5.5)

Нормальные оси кинематической пары составляющие реакций и моментов реакций действуют на и - тое звенья механизма и служат для расчета прочности, жесткости и других расчетов звена, а параллельные составляющие равны нагрузкам на приводы, обеспечивающие движение в этой кинематической паре. Эти составляющие реакций используются для расчета прочности, жесткости и долговечности деталей приводных узлов механизма, к.п.д. приводных устройств, подбора приводных двигателей и многих других расчетов.

Для программирования вычислений на ЭВМ соотношения (4) и (5) приводят к матричной форме, используя матричные аналоги векторных операций.

Пусть символ обозначает трехмерную матрицу – столбец, компоненты которого определяются проекциями вектора в неподвижной системе и - матрица перехода . Если вектор удобно задавать в системе (или ), связанной с - тым звеном, то для получения используют матрицу перехода . Тогда вместо (4) – (5) можно использовать соотношения

(5.6)

(5.7)

(5.8)

где

(5.9)

(5.10)

При известных кинематических характеристиках звеньев по (6) – (8) можно определить реакции и моменты реакций во всех кинематических парах механизма. При вычислении этих реакций на ЭВМ вместо (7) – (8) удобно использовать рекуррентные соотношения (6). Соответствующий алгоритм рассматривается ниже.