3.6. Постановка задачи динамики мм на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса

Метод решения задач динамики ММ на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса не требует предварительного составления уравнений движения звеньев ММ, но требует предварительного вывода системы уравнений, описывающей все связи, налагаемые на относительные движения звеньев кинематическими парами.

В общем случае система уравнений связей для ММ может быть записана в виде матричного уравнения

А +В =С , (6.1)

где ={ }^T (i=1,2, …, n) – блочная матрица квазискоростей размерности 6n; ={ , , , , , } - матрица квазискоростей размерности 6 звена с номером i; (k=1,2,3) – компоненты вектора угловой скорости звена i в главной системе координат Z_i , связанной с звеном i; - компоненты вектора скорости центра масс звена i в абсолютной системе отсчета , = - матрица обобщенных координат механизма; р – число приводов звеньев ММ, которое обычно равно числу звеньев n; A={a ^ji} (r 6n), A={b ^jl} (r p), С= ; R – число связей, определяемое количеством и классами кинематических пар.

При отсутствии общих связей, налаженных на движения звеньев ММ, общее число связей, наложенных на движения звеньев механизма число связей

R= ,

где p_k – число кинематических пар k-того класса.

Элементы матриц А, В и вектора С зависят в общем случае от компонент вектора и времени.

Если i-1, i кинематическая пара вращательная, то уравнения связей, налагаемых парой на относительные движения i-1 и i-того звеньев, имеют вид

=_i= ,

 = (k=1,2,3), (6.2)

 =0,

где первое уравнение отражает параллельность орта и вектора относительной угловой скорости , второе- четвертое - неизменность положения орта относительно ортов системы Z_i, связанной с звеном i. Последнее уравнение отражает свойство ортогональности векторов и .

Если i-1, i кинематическая пара поступательная, то система уравнений связей, налагаемых этой парой на относительные движения звеньев i-1 и i, получается из (2) заменой первого и четвертого уравнений на уравнения

 = V_i , | |=0. (6.3)

Зависимость коэффициентов рассмотренных уравнений связей от обобщенных координат q_l , а через них от времени, вытекает из того, что векторы и , входящие в эти уравнения, зависят от обобщенных координат и времени. Поскольку при составлении уравнений связей рассматривают только движение в кинематических парах, можно считать, что =  и =  .

Уравнения связей инвариантны относительно выбора систем координат, поэтому правые их части могут быть определены при q_l = 0, т.е. для начального положения ММ, а левые – при произвольном q_l . При этом (k=1,2,3) будут равны проекциям ортов на оси неподвижной системы координат .

Дифференцированием (1) по времени получаются уравнения связей для квазиускорений

А +В = D, (6.4)

где D= - - - вектор размерности.

Уравнения связей (1) и (4) являются соотношениями между возможными квазискоростями и квазиускорениями и обобщенными скоростями и ускорениями. Действительные квазискорости и квазиускорения также удовлетворяют этим уравнениям, но кроме этого они должны удовлетворять уравнениям динамики.

Пусть внешние нагрузки, действующие на звено i, приведены к главному вектору силы

={ }^T (k=1,2,3),

определенному в неподвижной системе отсчета , и главному моменту

= { } (k=1,2,3),

определенному проекциями на оси главной центральной системы координат Z_i . Пусть ={P_l}^T (l=1,2, …,p) – обобщенные силы приводных двигателей.

Если бы звено i механизма двигалось со скоростями, определенными матрицей , только под действием внешних нагрузок, то его квазиускорения определялись бы шестимерным вектором = { , , , , , }; компоненты вектора определяются системой уравнений динамики звена i.

= -( - ) ,

= -( - ) ,

= -( - ) ,

=m_i (k=1,2,3).

Однако, на звенья механизма действуют и реакции и моменты реакций связи, а также обобщенные силы p_l , наличие которых порождает отличие квазиускорений и и определяет так называемое "принуждение" в движении звена. Мерой принуждения для для всего механизма может служить введенная Гауссом величина

M_p ( ) = 0,5 ( - )^T Ф ( - ) - I , (6.5)

где

= { }^T (i=1,2,…,n);

Ф = diag {₁ , ₂ , …, _n} – диагональная блочная матрица порядка 6n 6n с элементами - блоками ; = diag { , , , m_i , m_i , m_i } – диагональная матрица порядка 6 6.

Выражение (5) задает способ определения меры принуждения для возможного вектора ускорений . В таком случае принято говорить, что мера принуждения Мр является функционалом, определенным на всевозможных векторах . Согласно принципу наименьшего принуждения Гаусса величина Мр минимальна для вектора действительных ускорений. В силу квадратичной зависимости Мр от вторые частные производные от Мр по отрицательны. Поэтому зависимость Мр от является выпуклой по и ее минимум при независимых между собой компонентах является единственным.

Таким образом, принцип наименьшего принуждения Гаусса сводит задачу определения ускорений звеньев к задаче минимизации величины принуждения Мр при квазискоростях и квазиускорениях удовлетворяющим уравнениям связей (1) и (4). Для решения этой задачи используются методы теории оптимизации.

Один из методов решения задачи минимизации Мр основан на использовании матрицы - градиента зависимости Мр, который определяется соотношением

grad M_p=d M_p/d =Ф .

Компоненты матрицы равны частным производным функции Мр по компонентам матрицы .

Процесс решения задачи минимизации Мр является процессом многошагового поиска минимума Мр , реализуемым на основе алгоритмов теории оптимизации. Для его реализации необходим начальный вектор ускорений , задаваемый из каких- либо соображений. Следует отметить, что процесс оптимизации сам по себе является весьма сложным вычислительным процессом, требующим не только специальный математический аппарат, но и интуиции и высокой квалификации в программировании и методах вычислений от исследователя.

Следует подчеркнуть, что принцип наименьшего принуждения Гаусса позволяет определить матрицу квазиускорений по известным внешним нагрузкам и обобщенным силам, развиваемым приводами, при известной матрице квазискоростей . Способ определения матрицы по матрице рассмотрен ниже в разделе 3.8, где описан алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений динамики манипуляционных механизмов.