- •2. Приведенные характеристики механизмов 27
- •Введение
- •Силовой анализ манипуляционных механизмов
- •1.1. Задачи силового анализа мм
- •1.2. Силы инерции и их моменты
- •1.3. Mеханические характеристики двигателей
- •Приведение сил и моментов сил к главному вектору и главному моменту
- •1.5. Кинетостатический метод расчета мм
- •1.6. Алгоритм определения обобщенных сил
- •Статическая жесткость и податливость мм
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Приведенныехарактеристики механизмов
- •2.1. Кинетическая энергия звена и механизма
- •2.2. Приведенные массы и моменты инерции звеньев
- •2.3. Приведенные силы и моменты сил
- •3.2. Задачи и цели динамики мм
- •Кинетостатический метод составления дифференциальных уравнений динамики
- •Построение уравнений динамики мм на основе принципа возможных перемещений
- •Описание динамики мм на основе уравнений Лагранжа II рода
- •3.6. Постановка задачи динамики мм на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса
- •3.7. Сравнение методов динамического анализа мм
- •3.8. Интегрирование уравнений динамики мм
- •Влияние относительного вращения роторов приводных двигателей на динамику мм
- •4.1. Требования к захватным устройствам
- •Классификация зу.
- •4.3. Конструкции механических зу
- •4.4. Вакуумные и электромагнитные зу
- •4.5. Зу с эластичными камерами
- •4 .6. Проектирование зу
- •Вопросы для самопроверки
- •Список Литературы
1.2. Силы инерции и их моменты
М
Рис. 1.1.
Пусть с звеном, совершающим сложное пространственное движение, связана центральная система координат , а система координат является инерциальной системой отсчета (рис.5.1). Частицу звена с объемом dV и массой dm = dV ( - плотность материала звена в точке А) можно считать материальной точкой. Ускорение точки А
'= + + = ,
поскольку относительного движения у точки А нет. Если - ускорение полюса, то
'= = + + ( ),
где и - абсолютные угловые ускорение и скорость звена.
Согласно принципу Даламбера материальная точка А будет находиться в равновесии, если к действующим на нее внешним силам добавить силу инерции
= - dm ' .
Действующая на все звено суммарная сила инерции
= = - 'dV
называется главным вектором сил инерции звена.
По определению
=- [ + +( ( ))]dV.
Поскольку для всех точек звена векторы , и одинаковы,
= - dV- dV- ( dV)=- m –
- - ( ).
Если полюс совпадает с центром масс S, то =0 и
= - m , (2.1)
то есть главный вектор сил инерции, действующих на звено, равен произведению массы m звена на ускорение центра масс звена, направлен противоположно этому ускорению и приложен в центре масс звена.
Для звена с номером i
= -mi ,
где - ускорение центра масс звена i.
Согласно (4.5.9) [7],
= + + .
Пусть
= - mi , = - mi .
Тогда
= + - mi . (2.2)
В некоторой системе координат Zi , связанной с звеном i, (2) принимает вид
= -mi , (2.3)
где ={ }, ={ } (k = 1,2,3) – матрицы-столбцы, определенные проекциями векторов и на оси системы координат Zi, связанной с звеном .
В той же системе координат Zi (2) приобретает вид
= + -mi , (2.4)
где , , - трехмерные матрицы, определенные в системе координат Zi.
В неподвижной системе отсчета
= + -mi , (2.5)
где , , - трехмерные матрицы, определенные в системе .
Элементарная сила инерции создает относительно точки S элементарный момент
= = -( ')dV.
Главный вектор – момент сил инерции относительно центра масс звена S определяется выражением
= = - { [ + + ( )]}dV=
= dV- [ + ( )]dV.
Поскольку начало отсчета системы координат находится в центре масс звена, dV= =0 и
= - [( )+ ( )]dV, (2.6)
Векторы , и удобно определять в связанной с звеном системе матрицами
={ }, ={ }, ={ } (k=1,2,3)
Согласно Приложению [7], векторному выражению (6) соответствует выражение
=( D( )D( )dV) +D( )( D( )D( )dV) .
Поскольку =- D( )D( )dV- матрица инерционных характеристик звена в системе координат ,
= - -D( ) . (2.7)
В главной, связанной со звеном, системе Z
= -J -D( )J (2.8)
или
М1= -J11 +(J22–J33) 2 3,
М2= -J22 +(J33–J11) 3 1, (2.9)
М3= -J33 +(J11–J22) 1 2.
Проекции вектора на оси неподвижной системы определяется матрицей
= ,
где - матрица преобразования Z .
С учетом (8)
= = - (J +D( )J ).
По определению
= .
Если ={ } (k= 1,2,3) – j -тый столбец матрицы , то
= = + + ,
и = .
Тогда
= - (J +D( )J ).
Матрица
Т= J
имеет элементы
tjk=J k . (2.10)
Пусть ={ k} (k=1,2,3) и
= - D( )J . (2.11)
Тогда
= (2.12)
и
= - Т + . (2.13)
Для звена i выражения (6), (8) и (10) принимают вид:
= [( )+ ( )]dV, (2.14)
= - Ji -( )Ji , (2.15)
= - Ti , (2.16)
где
Ti= Ji , = - D( )Ji ,
- матрица преобразования Zi .
В силу (4.5.8) [7],
= + + ,
и (14) принимает вид:
= - { [( + + ) ]}dV-
- [ ( )]dV.
В этом выражении все векторы, за исключением не зависят от координат точки звена и могут при интегрировании считаться постоянными. Для вычислений более удобно матричное представление.
В силу (4.5.8) [7],
= + + .
Пусть
= -Ti , = -Ti + .
Тогда
= + -Ti . (2.17)
В проекциях на оси системы координат звена i получаем
(2.18)
При получении выражений (4) и (18) предполагалось, что начало отсчета системы Z (или ) находится в центре масс звена S. Однако выбор начала отсчета системы Z не влияет на физические процессы (принцип инвариантности физических законов). Поэтому полученный результат будет верен и при любом другом выборе начала отсчета связанной с звеном системы координат Z.
Таким образом, силы инерции, действующие на звено, приводятся к главному вектору сил инерции и главному моменту сил инерции , определенному относительно центра масс звена.