3.7. Сравнение методов динамического анализа мм

Рассмотренные методы динамического анализа обладают примерно одинаковой универсальностью, поскольку используют самую общую информацию о звеньях механизма.

Однако эти методы приводят к различным по форме дифференциальным уравнениям и требуют, совершенно разных по сути методов решения этих уравнений.

Наиболее простым и легко алгоритмизируемым является кинетостатический метод, который не требует оптимизационных процедур для получения решения.

Примерно такими же качествами обладает метод, основанный на уравнениях Лагранжа II рода и метод возможных перемещений. Однако первый и этих методов требует аналитического или численного дифференцирования кинетической энергии механизма, что повышает вероятность ошибок и снижает точность результатов вычислений при численном решении задачи динамики.

Метод наименьшего принуждения Гаусса предполагает использование процедуры оптимизации функционала, выражающего меру принуждения. Реализация подобной процедуры может оказаться не проще, чем решение задачи динамики одним из других методов. Практика решения задач оптимизации многими исследователями, в том числе и автором настоящего пособия, показывает, что эти методы нужно применять только в тех случаях, в которых оптимизация порождается сутью решаемой задачи, а не формой ее описания.

3.8. Интегрирование уравнений динамики мм

С точки зрения теории дифференциальных уравнений уравнения динамики ММ несмотря на различие способов, которыми они были получены (за исключением метода наименьшего принуждения Гаусса), являются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка, линейными относительно второй производной искомой матрицы и нелинейными относительно первой производной этой матрицы. Искомой матрицей может быть либо матрица обобщенных координат ММ, либо матрица квазискоростей . Однако, используя связь

= С ,

всегда можно исключить из системы дифференциальных уравнений матрицу квазискоростей и получить систему дифференциальных уравнений относительно . Таким образом, в любом случае, система дифференциальных уравнений динамики манипулятора может быть приведена к системе

(t) = A ( , t) ( , , t) + ( , , t), (8.1)

где А – матрица порядка р р, р - количество обобщенных координат манипулятора, равное для манипуляторов, образованных открытыми кинематическими цепями числу подвижных звеньев манипулятора или его числу степеней подвижности; В – матрица – столбец размерности р.

Решение системы уравнений (1) аналитическими методами практически невозможно, поскольку система нелинейная по обобщенным скоростям и содержит для манипуляторов универсальных роботов не менее шести уравнений. Поэтому обычно уравнение (1) не решается как дифференциальное уравнение и закон движения (t) определяется следующим образом.

Пусть для некоторого момента времени t известны матрицы (t), (t), (t). Тогда матрицы (t+t) и (t+t) могут быть разложены в ряды Тейлора

(t+t)= (t)+ (t)t+ 0,5 (t)(t)²+ 0[(t)]², (8.2)

(t+t) = (t)+ (t)t + 0 ((t)²), (8.3)

где 0((t)²) – остаточный член разложения, порядок малости которого выше чем (t)³ .

Рекуррентные соотношения (2) и (3) можно использовать для определения закона движения ММ, т.е. функции (t) определенной на отрезке [0, t₀], где 0, t₀ - моменты времени, соответствующие началу и концу рассматриваемого процесса движения. Для этого необходимо иметь матрицы (0), (0), (0). Первые две матрицы обычно задаются, т.к. в противном случае решение задачи динамики становится неопределенным. Матрица (0) может быть определена из системы уравнений (1), которую нужно записать для начального момента времени t₀

(0)=А[ (0), 0] [ (0), (0), 0]+ B[ (0), (0), 0].

Далее, определив матрицы (t) и (t), по формулам (2) и (3), можно из системы уравнений (1), записанной для момента времени t+t, определить матрицу (t) и по ней определить матрицы и для момента времени t=2t. Повторяя описанный процесс для всех выбранных на отрезке [0, t₀] достаточно близких друг к другу моментов времени, можно определить зависимости матриц (t), (t) и (t) от времени. По этим матрицам можно определить координаты, скорости и ускорения любых точек звеньев ММ, решая прямые задачи о положении и ориентации схвата, а также прямую задачу кинематики.

Таким образом решается обратная задача динамики ММ. Прямая задача динамики ММ, т.е. задача в которой по известным матрицам , и определяется матрица обобщенных сил , действующих на приводы ММ, решается гораздо проще и сводится к алгебраическим матричным операциям.