2.2. Приведенные массы и моменты инерции звеньев

Приведенным моментом инерции J* (приведенной массой m*) называется такой момент инерции (масса), при котором кинетическая энергия звена приведения равна кинетической энергии рассматриваемой кинематической цепи. Приведенный момент инерции используется для исследования динамики вращающихся звеньев приведения, а приведенная масса – для исследования динамики звеньев движущихся поступательно.

Пусть звено приведения i вращается относительно неподвижной оси и рассматривается кинематическая цепь, состоящая из звеньев с номерами от i до n включительно. По определению

= (m_kV_k²+ T_k ),

где – абсолютная угловая скорость звена i вокруг орта оси кинематической пары i-1,i.

Отсюда

= (m_kV_k²+ T_k ) . (2.1)

Пусть

={q₀ , q₁ , … q_n}^T –

матрица (вектор) обобщенных координат, определяющий положение (или конфигурацию) ММ.

В ММ, имеющих замкнутую кинематическую цепь, движение каждого из звеньев может влиять на движения остальных звеньев. Поэтому, для таких ММ можно определить функции

S_k=S_k( ), _k= _k( ),

где S_k –путь точки S_k центра масс звена k, измеренный вдоль абсолютной траектории точки S_k в системе , _k = { } (l=1,2,3), - угол поворота звена k вокруг оси ^l системы в абсолютном движении.

В ММ, имеющем разомкнутую (открытую) кинематическую цепь, движение некоторого звена k зависит в общем случае от движений звеньев кинематической цепи, связывающих звено k с базовым звеном. В этом случае можно определить функции

S_k=S_k( ), _k = _k ( ),

где ={q₀ , q₁ , … q_k-1 , q_k } – усеченный вектор обобщенных координат, определяющий положение указанных звеньев, и следовательно положение звена k.

По определению

V_k= = = , (2.2)

= = = , (2.3)

где r =n для ММ, имеющего замкнутую кинематическую цепь, и r =k в противном случае

_skj = , (2.4)

= - (2.5)

аналоги линейной и угловой скоростей звена k, обусловленных движением звена j относительно звена j-1 (относительная скорость звена j).

Если кинематическая цепь ММ замкнутая, то в выражениях для V_k и все аналоги скоростей в общем случае отличны от нуля и это сильно затрудняет определение . Если же кинематическая цепь ММ не замкнутая, то V_k и можно определить, предполагая, что = при k > i, т.е. что во всех кинематических парах кроме i-1, i пары относительные движения звеньев отсутствуют, то есть выполняется условие =0 при j i, = .

Тогда (2) и (3) принимают вид

V_k= _ski , = .

Поскольку, начиная с звена i, все звенья движутся как одно целое твердое тело, его углы поворота относительно осей системы будут равны

= =

и

= = = = .

Тогда приведенный момент инерции подвижной части кинематической цепи

= (m_k + T_k ), (2.6)

где ={ } (l=1,2,3).

Величины _ski и имеют простой геометрический смысл.

Пусть модуль вектора

= ( ),

являющегося нормальной орту оси i-1,i кинематической пары составляющей вектора

= ( - )+ ,

идущего из центра i- той кинематической пары в центр масс звена k. Тогда

V_k= z_ski = и _ski= .

Поскольку угловые скорости звеньев с номерами одинаковы = = ,

= = = ,

где =cos , - угол, образованный вектором угловой скорости или ортом и осью ^l системы .

Таким образом, ={ }^Т= .

По определению, приведенная масса i-того звена приведения определяется из условия

= (m_kV_k²+ T_k ),

где V_k - абсолютная линейная скорость точки S_k центра масс звена k.

Отсюда

= (m_kV_k²+ T_k )(V_i )^-2. (2.7)

Здесь V_k и определяются по формулам (2) и (3).

При определении имеются те же проблемы, что и при определении . Если кинематическая цепь ММ не замкнута, то можно, как и выше, считать, что все =0 при j i. Поскольку кинематическая пара является поступательной, то все звенья ММ с номерами k>i движутся поступательно со скоростью V_k= в направлении орта и (2) и (3) принимает вид:

V_k= _skiV_i , = V_i .

Тогда приведенная масса

= (m_k + T_k ).

Поскольку в рассматриваемом случае все звенья ММ, начиная с i-того звена, движутся поступательно V_k= _skiV_i =V_i и _ski=1.

По тем же причинам =0 и =0. Тогда

= m_{k ski} = m_k.

По определению, аналоги скоростей звеньев ММ зависят только от обобщенных координат механизма и могут быть вычислены для данного ММ чисто геометрическими методами, не требующими определения законов изменения обобщенных координат во времени. Поэтому аналоги скоростей звеньев ММ могут считаться характеристиками механизма. Они могут быть определены на стадии проектирования механизма в виде графиков или таблиц, и могут считаться такими же характеристиками механизма, как его масса, габаритные размеры и другие характеристики.

Следовательно, приведенные моменты инерции и приведенные массы звеньев ММ зависят только от положения ММ и не зависят от времени и поэтому могут считаться динамическим характеристиками ММ.