Вопросы для самопроверки
1. В чем заключается принцип Даламбера?
2. Что такое уравнение кинетостатики?
3. Что такое обобщённые силы и моменты?
4. Как определяются главный вектор и главный момент сил инерции?
2. Приведенныехарактеристики механизмов
При аналитическом исследовании динамики механизмов, а также при получении некоторых оценок инерционных свойств звеньев и отдельных кинематических цепей ММ, удобно использовать приведенные массы и моменты инерции звеньев, получаемые методом приведенных характеристик. Суть метода приведенных характеристик заключается в замене исследования динамики кинематической цепи исследованием динамики нескольких ее звеньев, называемых звеньями приведения. Чтобы звено приведения отражало исследуемые свойства кинематической цепи, ему приписывают некоторые приведенные характеристики, реально не присущие звену приведения, и являющиеся поэтому фиктивными характеристиками.
В качестве звена приведения выбирается обычно то звено механизма, движение которого определяет движение других звеньев. Поэтому в ММ, образованных открытыми кинематическими цепями, любое звено можно выбрать в качестве звена приведения. Звено приведения должно двигаться так же, как и то звено, которое выбрано в качестве звена приведения.
2.1. Кинетическая энергия звена и механизма
Пусть в окрестности некоторой точки звена выделен элементарный объем dV, содержащий массу dm = dV, где - плотность материала звена в рассматриваемой точке.
Пусть
,
- абсолютные линейная скорость центра
масс и угловая скорость звена определенные
относительно неподвижной системы
координат
.
Скорость некоторой точки звена
'
=
+
Кинетическая энергия звена i
E=
dV
(1.1)
Поскольку
= 2+ 2 ×( )+( )2
E= [ 2+2 ( )+( )2]dV.
Для всех точек звена =const и
E= [V 2 dV+2 × ( dV)+
+ ( ) ( )dV].
Поскольку
dV=m
,
dV
= m,
и =0 если S -центр масс звена,
E = [mV 2+ ( ) ( )dV].
Если
={
}
(k=1,2,3),
={
},
={
}
–
матрицы, определенные проекциями векторов , и на оси системы , связанной со звеном, то
E=
[mV
2+
(D(
)
)T(D(
)
dV)].
Поскольку
(D( ) )T= TD( )= - TD( ),
то
E= [m 2- TD( )D( ) dV].
Поскольку для всех
точек звена, как жесткого тела,
=const,
E =
[m
2-
T(
D(
)D(
)dV)
].
Поскольку
D( )D( )dV= - ,
матрица моментов
инерции звена относительно осей системы
координат
,
E= (mV 2+ Т ) (1.2)
Таким образом, выражение для кинетической энергии звена состоит из слагаемого, определяющего кинетическую энергию звена в поступательном движении со скоростью центра масс , и слагаемого, определяющего кинетическую энергию звена во вращательном движении с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс звена.
В развернутом виде:
E=
[mV
2+
jj(
j)2-2
12
1
2-
-2 23 2 3-2 31 3 1]. (1.3)
В главной системе
координат Z
ij
=0 при i
j,
jj=Jjj
. Поэтому
E=
[mV
2+
jj(
j)2]. (1.4)
По этой формуле вычисляется кинетическая энергия звена. Кинетическая энергия всего механизма:
Е=
, (1.5)
где
Ei=
[mi
+
(
)2]
-
кинетическая энергия звена i, mi , Vi , , (j=1,2,3,) – масса, линейная скорость центра масс, главные осевые моменты инерции и компоненты угловой скорости звена i: величины и определены в главной центральной системе координат Zi, связанной со звеном i.
В проекциях на оси неподвижной системы координат получается:
E=
0,5
[mV
2+(
)ТJ(
)]=
=0,5
(mV2+
T+
J
), (1.6)
- матрица преобразования Z .
Кинетическая энергия механизма, выраженная через проекции на оси системы , имеет вид:
Ei=0,5
[mi
+
(
)2],
где
=
,
={
}T–
j-тая строка матрицы
преобразования Zi
.
Вводя матрицу Т
=
J
,
можно записать (6) в виде:
E= 0,5[mV+ T Т ]. (1.7)