Задачи для самостоятельного решения
1. Используя теорему Жордана, вычислить:
.
2. Используя метод математической индукции, вычислить:
3. Используя формулу бинома Ньютона, вычислить:
.
4. Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен:
а) нулевой матрице; б) единичной матрице.
5.
Пусть
Вычислить
.
6.
Вычислить
7.
Найти
8.
Найти
9.
Доказать, что равенство
не выполняется ни для каких матриц
.
10.
Вычислить
11. Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотентных матриц является нильпотентной.
12. Привести пример двух нильпотентных матриц, сумма которых не является нильпотентной.
13. Доказать, что:
если А – кососимметрическая матрица, то
;если А – косоэрмитова матрица, то
,
где
и
i– мнимая единица;
если А – симметрическая (эрмитова) матрица, то
;если А – эрмитова матрица и
то
;
5) если А – положительно определенная
матрица, то
.
14. Используя лемму, последовательно доказать следующие утверждения:
1)
,
если
;
2)
,
где
собственные значения матрицы А;
3) если А – нильпотентная матрица, то ;
если для всех
,
то А – нильпотентная матрица;если
для некоторой матрицы А, то В
является нильпотентной матрицей.
15. Предположим, что квадратная матрица А второго порядка
комплексными
членами имеет двойное собственное
значение
.
Показать, что найдется матрица В,
подобная матрице А (т. е.
),
равная одной из двух матриц
,
.
Вычислить
.
1.6. Многочлены
Определение
1. Многочленом
(или полиномом) степени n
(
)
от переменной x
называется выражение вида
Теорема 1. Любой многочлен с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде
Определение
2. Числа
называются корнями
многочлена
,
число
–
кратностью корня
.
Если
=
1, то
называется простым
корнем, если
>1,
то – кратным
корнем (кратности
).
Утверждение
1.
Показать, что
является корнем многочлена
кратности r тогда
и только тогда, когда
.
Теорема 2. Любой многочлен с вещественными коэффициентами может быть представлен в одном из следующих видов:
Теорема
3. Пусть
и
– два многочлена и
.
Тогда найдутся многочлены
и
такие, что
Многочлен
называется остатком
от деления
на
.
Если
,
то говорят, что
делится на
(без остатка).
Замечание.
Многочлен
делится на
тогда и только тогда, когда каждый корень
многочлена
кратности r является
корнем
кратности
.
Упражнение
1. Найти значения а и b,
при которых многочлен
делится на
.
Решение.
С учетом сформулированного выше замечания
и утверждения 1 достаточно показать,
что
.
Таким образом, получаем систему уравнений:
решая которую
находим
Упражнение 2.
Пусть p и q
– различные многочлены, такие что
.
Доказать, что
делится на
.
Решение. Приведем решение для случая, когда многочлен не имеет корней кратности больше чем два, оставив читателю рассмотрение общего случая.
А. Пусть a – простой
корень многочлена
.
Тогда
и
.
Б. Пусть a – корень
многочлена
кратности два. Тогда
,
и, как было доказано в А,
.
Отсюда
.
Из
А, Б и утверждения 1 следует, что
делится на
.
Определение 3. Результантом двух многочленов
,
называется определитель
.
Теорема
4. Для того, чтобы многочлены
имели общий корень, необходимо и
достаточно, чтобы
.
В
случае
результант
называется дискриминантом многочлена
.
Если
,
то
,
где D – «школьный»
дискриминант квадратного трехчлена
,
так как
.
Упражнение
3. Найти все значения
,
при которых многочлены
имеют общий корень.
Решение. Найдем значения параметра , при которых результант многочленов p и q равен 0.
Решая
получившееся уравнение, находим
,
.