6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
Этот метод бывает удобен для доказательства неравенств, зависящих от нескольких параметров.
Доказать неравенство:
,
если
.
Решение.
Исследуем
функцию
на экстремум:
а) находим критические точки
.
Отсюда
находим
;
б) исследуем
знак второго дифференциала функции
в точках
:
,
,
,
Таким
образом,
– точки минимума функции
.
Отсюда получаем
что и требовалось доказать.
7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
1.
Построить график функции
Решение. Вычислим производную в точках .
.
Так
как
то
Ответ:
2. Доказать тождество
,
.
Решение.
Рассмотрим функцию
,
.
При
имеем
.
Пусть
;
тогда
и
.
Поэтому
,
.
Следовательно, функция при
является тождественно равной постоянной.
Чтобы найти эту постоянную, вычислим,
например,
;
имеем:
.
Таким образом, тождество доказано.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать тождества:
а)
=
,
;
б)
в)
при
;
г)
при
.
2. Доказать неравенства:
а)
при
;
б)
;
в)
при
;
г)
при
;
д)
при
;
е)
при
;
ж)
,
.
3. Доказать неравенства:
а)
при
;
б)
при
;
в)
при
,
г)
,
где
−
произвольные положительные числа,
д)
,
где
−
произвольные положительные числа.
4. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
в области
.
3.6. Производные высших порядков
Производная
данной
дифференцируемой функции y
= f(x),
называемая производной первого порядка,
представляет собой некоторую новую
функцию. Возможно, что эта функция сама
имеет производную.
Определение
1. Производная
от производной первого порядка называется
производной второго порядка или второй
производной и обозначается так:
или
Аналогично
если существует производная от производной
второго по− рядка, то она называется
производной третьего порядка или третьей
произ− водной и обозначается так:
или
и
т.д.
Пример
1.
,
найти
.
Решение. Преобразуем выражение к виду
.
Так как
,
то
.
Пусть
и
имеют
производные до n-го
порядка включительно.
Тогда
для производной n-го
порядка их произведения
справедлива формула
Лейбница
.
Пример 2. Вычислить значение n-й производной функции
в
точке
.
Решение. По условию имеем
.
Продифференцируем
это тождество n
раз, применяя формулу Лейбница. Тогда
получим
,
откуда при
,
или
.
Получили
рекуррентную формулу для определения
n-й
производной в точке
(
).
Значения
и
найдем непосредственно:
,
.
Затем, полагая последовательно n=2, 3, 4, …, с помощью рекуррентной формулы получим значения производных высших порядков.
Пример
3. Найти
производную второго порядка от функции,
заданной параметрически:
,
,
.
Решение. Имеем
и
.
Заметим,
что в данном случае параметр t
легко исключить из заданных уравнений,
полагая
.
В
общем случае, если
,
,
то
.