- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Так как , то , что и требовалось доказать.
2. Возьмем при . Тогда неравенство выполнено для всех и .
П р и м е р 8. Пусть функция дифференцируема на и равенство
(3.4)
справедливо для некоторого и всех . Тогда , где .
Решение. Из равенства (3.4), записанного в виде
,
следует, что тангенс угла между хордой, соединяющей точки и , и положительным направлением оси равен . Так как любая точка графика функции представима в виде , то график этой функции совпадает с прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент . Таким образом, .
П р и м е р 9. Пусть бесконечно дифференцируема на ин-тервале и существует такая, что для всех и .
Показать, что удовлетворяет одному из следующих условий:
1) – точка строгого экстремума;
2) – точка перегиба;
3) является константой на .
Решение. 1. Предположим, что
и – четное число.
Тогда
.
Так как сохраняет знак на и , то найдется окрестность точки , в которой выполнено равенство , то есть:
– точка максимума, если ;
– точка минимума, если .
2. Предположим, что
и – нечетное число. Тогда, используя разложение по формуле Тейлора функции
в точке , получаем
.
Так как – четное число, то – точка экстремума функции и, следовательно, является точкой перегиба графика функции .
3. для всех . Тогда
для всех .
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти на кривой точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки и .
2. Найти функцию такую, что
если .
3. Доказать неравенства:
а) ; б) ;
в) , если .
4. Доказать, что единственная функция, имеющая постоянную производную на , есть линейная функция
.
5. Пусть – четная функция, определенная на и имеющая в точке все производные. Доказать, что
для всех .
6. Функция дифференцируема на , причем выполнены условия: для некоторого . Доказать, что выполняется тождество .
7. Показать, что если кривая пересекает некоторую прямую в трех точках, то между крайними точками пересечения находится по крайней мере одна точка перегиба кривой.
8. Функция имеет на полуоси непрерывную производную, для всех . Доказать, что существует такая точка , что .
9. Пусть функция дифференцируема на отрезке . Доказать, что
.
10. Определить число вещественных корней уравнения:
а)
б)
в)
11. Используя результат, сформулированный в примере 2, доказать теорему Дарбу: если функция имеет конечную производную на отрезке , то функция принимает в качестве значения каждое промежуточное число между и .
12. Доказать, что всякая монотонная на функция непрерывна на .
13. Обозначим через f функцию, определенную на отрезке и выпуклую, а через (i=1, 2, …, n) − строго положительные числа и . Показать, что .
14. Показать, что если , то функция f , определенная для равенством , выпуклая, и доказать, что если − строго положительные числа, то
.
Может ли здесь достигаться равенство?
3.5. Тождества и неравенства
1. Применение метода математической индукции
к доказательству неравенств
Доказать неравенство:
Решение:
а) если , то
б) предположим, что рассматриваемое неравенство верно для некоторого ;
в) покажем, что
что и требовалось доказать.
2. Использование монотонности функции
Доказать двойное неравенство:
при
Доказательство. Рассмотрим функцию
Заметим, что а)
б)
в)
Из в следует, что при , затем из б следует, что при , и, наконец, из а следует, что при .
Аналогично доказывается второе неравенство.
3. Использование экстремальных свойств функций
Доказать неравенство:
если .
Решение. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции :
.
Отсюда следует, что при
.
4. Использование направления выпуклости функций
Доказать неравенство:
при
Решение. Разделим обе части неравенства на 2:
и рассмотрим функцию , Так как и при , то выпукла вниз на . Значит,
при ,
что и требовалось доказать.
Замечание. Другие примеры неравенств, вытекающих из определения выпуклости вверх (выпуклости вниз) были приведены в конце раздела 3.3.
Переход от дискретного параметра
к непрерывному параметру
Этот прием является весьма эффективным, так как сводит исследование последовательностей к исследованию функций, что позволяет применять правило Лопиталя, нахождение экстремумов с помощью производных и т.д.
Пример1. Установить, является ли монотонной числовая последовательность .
Решение. Исследуем функцию на монотонность при . Для этого рассмотрим .
,
.
Отсюда следует, что .
Так как для всех , то возрастает на . С учетом равенства это означает, что для всех . Значит, и убывают на . Таким образом,
.