1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы

В начале этого раздела рассмотрим различные способы возведения матрицы в степень.

Первый способ основан на представлении матрицы А в виде , где J – жорданова форма А, и на использовании формулы и формулы для из упражнения 5 предыдущего раздела.

Упражнение 1. Вычислить , где .

Решение. Найдем собственные значения матрицы А, т.е. решения уравнения .

.

Отсюда . По теореме Жордана найдется матрица Т такая, что выполнено равенство , или, что то же самое, . Определим матрицу Т. Пусть . Тогда матричное уравнение

приводит к системе

одним из решений которой будет

Отсюда и

.

Второй способ. Индуктивный метод вычисления . Этот метод основан на вычислении нескольких первых степеней матрицы А, установлении закономерностей изменения элементов и строгом доказательстве методом математической индукции.

Упражнение 2. Вычислить , где .

Решение. Для начала вычислим

Заметим, что элементы главной диагонали равны 1. Элементы над главной диагональю совпадают со степенью матрицы А, а для элемента матрицы при m = 2, 3, 4 выполнено равенство

.

Теперь мы можем сделать индуктивное предположение

Покажем, что

Действительно,

Что и требовалось доказать. Это означает, что

Третий способ основан на применении матричного аналога формулы бинома Ньютона.

Теорема 1. Если матрицы А и В перестановочны (то есть выполнено равенство АВ = ВА), то

Если матрица B в условии теоремы 1 нильпотентна (то есть для не-которого ), то для всех верна формула

Фактически мы уже пользовались этим результатом при нахождении степеней жордановой клетки при решении упражнения 5.

Применим формулу бинома Ньютона для решения упражнения 2 раздела 1.5. Запишем А в виде суммы перестановочных матриц:

Таким образом, для получаем

где согласно формуле суммы m первых членов арифметической прогрессии 1, 2, 3, … .

Для m = 2 матрица вычисляется непосредственно.

Замечание. Отметим, что использование первого способа не всегда оправдано для матриц больших размерностей, так как для вычисления элементов матрицы T уже при n = 4 требуется решать систему из 16 уравнений. С другой стороны, применение второго и третьего способов затруднительно для вычисления степеней простейших матриц второго порядка типа (предлагаем читателям проверить это самостоятельно).

Определение 1. Следом квадратной матрицы А назы-вается сумма элементов главной диагонали и обозначается .

Лемма.. Пусть А и В – квадратные матрицы порядка n. Тогда выполнено равенство .

Доказательство. Используем метод математической индукции.

1. Для n = 2 утверждение проверяется непосредственно.

2. Предположим, что утверждение верно для некоторого .

3. Покажем, что оно верно для .

.

Обозначим строки и столбцы матриц и следующим образом:

Тогда

Аналогично

Заметим, что и

– матрицы порядка n – 1 и

В силу индуктивного предположения 2 Отсюда следует равенство .

Упражнение 3. Пусть А – матрица размерности , причем . Вычислить , где .

Решение. Пусть – жорданова форма матрицы А и – ее собственные значения, тогда

Так как – верхняя треугольная матрица и на ее главной диагонали стоят элементы то

Значит, согласно задаче 14 (см. задачи для самостоятельного решения ниже) ,

Итак, .

Последнее равенство доказано в примере 1 пункта 3.