- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить пределы:
а) б)
в) г)
2. Изучить поведение корней и квадратного уравнения , у которого коэффициент а стремится к 0, а коэффициенты b и c постоянны, причем .
3. Построить графики функций:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) .
4. Привести пример функции, непрерывной при всех действительных значениях, кроме
5. Определить значение функции так, чтобы она была непрерывна в точке , если
а) ; б) .
6. Показать, что обратная функция разрывной функции есть функция непрерывная.
7. Привести пример немонотонной функции , заданной на , имеющей обратную функцию.
8. Пусть и – непрерывные периодические функции с одина-ковым периодом, заданные на и . Доказать, что .
9. Доказать теорему Коши: если функция определена в интервале и ограничена в каждом конечном интервале , то
а)
б)
предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют.
10. Привести пример функции , определенной на всей числовой прямой, не имеющей предела ни в одной точке и такой, что функция имеет предел в каждой точке.
11. Функция определена и ограничена в некоторой окрестности точки и не имеет предела при . Доказать, что функция имеет предел в точке и он равен 0. Показать, что требование ограниченности функции существенно.
12. Показать, что функция не является ограниченной в любой окрестности точки ( ) и в то же время не является бесконечно большой при .
. 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
Определение 1. Пусть функция задана на и . Если существует конечный предел
то он называется производной функции в точке и обозначается или . Предел
Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
Теорема 1. Пусть функция задана на и . Производная существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние производные и . При этом = .
Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
Замечание. Обратное утверждение в общем случае неверно. Есть примеры функций, непрерывных на некотором отрезке , но не имеющих производной ни в одной точке .
Упражнение1. Доказать, что функция дифференцируема в точке , и найти ее производную в этой точке.
Решение. Имеем
;
.
Таким образом, , и, следовательно, функция дифференцируема в точке и .
Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
Решение. Так как дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке (теорема 2). Следовательно,
Согласно теореме 1,
Таким образом, для нахождения a и b получаем систему уравнений:
;
Откуда находим: ;
Пример 2. Для функции определить .
Решение. 1. Пусть Тогда
Аналогично находится правосторонний предел:
Если , то для и
Таким образом,
, если , и
; , если .
Отсюда следует, что производная функции существует всюду, кроме точек .
Пример 3. Доказать, что производная четной (нечетной) дифференцируемой функции есть нечетная (четная) функция.
Решение. Пусть – четная функция (то есть ).
Тогда
то есть – нечетная функция.
Случай нечетной функции рассматривается аналогично.
Пример 4. Найти , если , где – непрерывная функция при .
Решение. Вычислим по определению. Так как непрерывна в точке а, то и
Заметим, что правило дифференцирования произведения в данном случае неприменимо, так как может не иметь производной в точке а.
Пример 5. Вычислить производные следующих функций, исходя из определения производной: а) ; б) ; в) .
Решение. а) ;
б) рассмотрим отдельно случаи и .
, .
Если , то . Следовательно, производная функции в точке не существует;
в) пусть . Тогда
В выражении, стоящем под знаком предела, сделаем замену , . Тогда , и
в силу непрерывности функции . Таким образом,
Так как , то и
Следовательно,
.
Пример 6. Пусть
и функция дифференцируема в точке . Доказать, что функция имеет в точке производную, равную 0.
Решение. Первый способ.