Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.

Пример4. Пусть дважды непрерывно дифференцируема на и точка такая, что

для любой пары чисел .

Тогда с является точкой перегиба графика функции

Решение. Заметим, что из непрерывности функции следует, что изменение положения хорды, соединяющей две точки ее графика, непрерывно зависит от изменения этих точек. Это означает, что при малых изменениях положения точек мало изменяется тангенс угла наклона хорды к положительному направлению оси , который определяется соотношением

Предположим, что найдется две пары точек

и ,

для которых

и

Тогда из соображений непрерывности, высказанных выше, следует существование пары точек , для которой

что противоречит условию задачи.

Таким образом, или для всех . Переходя к пределу при в каждом из неравенств, получаем, что или для всех , то есть точка с является точкой локального экстремума функций .

Следовательно, и при переходе через точку с функция меняет знак. Это означает, что точка с является точкой перегиба функции .

Пример 5.Для того, чтобы функция , дважды дифференцируемая на , была строго выпуклой вверх (строго выпуклой вниз) на , необходимо и достаточно, чтобы для любых из существовала единственная точка такая, что

.

Решение. Необходимость. Пусть для определенности – строго выпуклая на функция. Предположим, что найдется пара точек таких, что

Таким образом, функция дифференцируема на и . Рассмотрим два возможных случая.

1. Если на , то , что противоречит строгой выпуклости на .

2. Если , то в силу равенства функция не является строго монотонной на и, значит, найдутся точки такие, что . С другой стороны, для всех . Противоречие.

Достаточность. Предположим противное. Тогда из замечания к определениям 1, 2 раздела 3.3 следует существование точек из отрезка таких, что отрезок, соединяющий точки , пересечет график функции в точке , где . Применив теорему Лагранжа к отрезкам и , получим, что

(3.1)

(3.2)

Так как точки и лежат на одной прямой, то выполнены равенства

где – угол между этой прямой и положительным направлением оси . Отсюда следует, что . Складывая равенства (3.1) и (3.2), получаем

Получаем противоречие.

Пример 6. Доказать, что если , то

где

причем

Решение. Применим к функции теорему Лагранжа на отрезке :

где меняется при изменении и . Отсюда получаем

,

,

. (3.3)

Найдем наименьшее и наибольшее значение функции на полуинтервале . Так как , то

.

Таким образом, .

Утверждения, касающиеся предельных значений функции , получаются из (3.3) при .

П р и м е р 7. Пусть функция дифференцируема, но не ограничена на интервале . Тогда ее производная также не ограничена на . Построить пример ограниченной на функции, производная которой не ограничена на .

Решение. 1. Так как не ограничена на , то найдется последовательность такая, что . Возьмем произвольную точку и применим теорему Лагранжа к каждому отрезку с концами в точках :

для некоторой точки между . Перейдем к пределу при в левой и правой частях последнего равенства и получим

.