Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?

10. Пусть А – квадратная матрица порядка :

Найти .

1.4. Жорданова нормальная форма

Определение 1. Жордановой клеткой порядка , от-вечающей числу , называется квадратная матрица порядка k, имеющая вид

.

Примеры жордановых клеток :

.

Определение 2. Жордановой матрицей порядка n называется блочно-диагональная матрица, имеющая вид

Следующая теорема занимает одно из центральных мест в теории матриц, так как часто позволяет свести изучение свойств любой матрицы к рассмотрению жордановой матрицы, имеющей более простую структуру, чем исходная матрица.

Теорема 1 (Теорема Жордана). Любая квадратная матрица подобна некоторой жордановой матрице того же порядка, то есть

где – матрица порядка – матрица, обратная матрице Т, .

Не останавливаясь на способе определения количества жордановых клеток их размерности и матрицы , заметим только, что числа являются решениями уравнения . Действительно, элемент на главной диагонали матрицы J. Это следует из теоремы об определители произведения и правил вычисления определителей верхних треугольных матриц. При исследовании многих задач знание чисел или хотя бы их свойств, например их расположения на комплексной плоскости, бывает вполне достаточно для получения искомого решения.

Определение 3. Пусть – квадратная матрица порядка . Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы , если при некотором действительном справедливо равенство

Число , для которого , называется собственным значением матрицы А.

Так как функция является многочленом степени , то имеет не более различных собственных значений.

Упражнение 1. Найти собственные значения матрицы

.

Решение. Найдем корни уравнения

Ответ: , .

Упражнение 2. Пусть является собственным значением матрицы . Тогда является собственным значением матрицы .

Решение. Первый способ.

Второй способ. Если , то, согласно пунктам 2 и 3 теоремы 1 раздела 2.3, существует вектор такой, что . Умножим обе части полученного равенства на и получим

.

Аналогично . Это означает, что , т.е. является собственным значением матрицы .

Упражнение 3. Пусть – собственные значения матрицы порядка . Показать, что .

Решение. Предлагаем выполнить самостоятельно.

Упражнение 4.Пусть дана квадратная матрица порядка и . Показать, что

для ,

, если все .

Решение. Предлагаем выполнить самостоятельно.

Упражнение 5. Вычислить -ю степень матрицы

= .

Решение. Обозначим

.

Очевидно, что , если , и , если (проверить самостоятельно). Теперь, используя формулу бинома Ньютона, запишем:

Отсюда получаем:

а) если , то

б) если , то

;

в) если , то

Использование жордановой формы бывает особенно удобно при рассмотрении задач, связанных с возведением матриц в степень. Это связано с тем, что, благодаря формуле , исследование степеней можно заменить на исследование степеней ее жордановой формы а матрицы , как правило, имеют более простой вид, чем матрицы . Прежде чем проиллюстрировать сказанное примерами, дадим определение предела последовательности матриц, которое нам будет нужно в дальнейшем.

Определение 4. Последовательность матриц с элементами сходится к матрице с элементами , если для всех возможных значений индексов .

Упражнение 6. Вычислить для .

Решение. Заметим, что

Применив метод математической индукции, получаем общую формулу . Таким образом,

.

Значит, .

Следующее упражнение интересно не только результатом, который в нем будет получен, но и методом, который приведет к этому результату.

Упражнение 7. Найти необходимые и достаточные условия того, что последовательность имеет предел.

Решение. Обозначим элемент i-й строки j-го столбца матрицы символом Используя формулу для перемножения матриц, можно выразить через и т.д. Однако в общем случае эти формулы крайне громоздки и непригодны для решения задачи. Поэтому начнем исследование поведения степеней с тех случаев, когда имеет простую структуру.

А. Если является матрицей порядка 1, то есть числом, то существует в том и только в том случае, когда

Б. Если , то существует в том и только в том случае, когда

В. Далее рассмотрим случай, когда является жордановой клеткой размера два, то есть . Случай жордановых клеток при решении этого упражнения особенно важен, так как изучение степеней матрицы, согласно теореме Жордана, во многом сводится к изучению степеней жордановой формы этой матрицы. Итак,

Таким образом, имеем следующую цепочку эквивалентностей: существует и существуют .

Пусть теперь – произвольная матрица и – ее жорданова форма:

.

Из теоремы Жордана и правила умножения блочно-диагональных матриц получаем

.

Отсюда и из рассмотренных случаев А, Б, В вытекает следующая гипотеза:

существует все пределы существуют

выполняется одно из следующих условий:

1) для ; 2) или для .

Осталось провести строгое доказательство высказанного предположения. Для этого достаточно установить следующую эквивалентность:

Если , мы получаем рассмотренный выше пункт А.

Если , то, согласно результату В упражнения 5, получаем:

существует существуют все пределы:

,

Исследуем каждый из этих пределов.

существует или .

существует .

Действительно, если указанный предел существует, то последовательность ограничена. Так как , то . Это возможно, только если . Наоборот, если , то для имеем

Случай рассматривается подобным же образом. Нужно при использовании правила Лопиталя учесть, что аргумент логарифма не может быть отрицательным числом. Если , то доказываемое утверждение очевидно.

Аналогично доказывается, что все остальные пределы существуют только при условии . Таким образом, если А – квадратная матрица и – ее жорданова форма, то существует тогда и только тогда, когда выполнены условия

Приведем пример использования результатов упражнения 5 для вычисления суммы матричных рядов.

Так же, как и в случае обычных числовых рядов, ряд , составленный из матриц одного размера, называется сходящимся, если последовательность матриц сходится в смысле определения 4.

Напомним, что для любого ряд сходится и его сумма равна . Покажем, что ряд сходится для всех квадратных матриц А (по аналогии с числовым рядом его сумма обозначается ). Доказательство этого утверждения основано на рассмотрении важного случая: .

Упражнение 8. Показать, что

Решение. Согласно определению требуется вычислить суммы числовых рядов , где элемент i-й строки j-го столбца матрицы

Для из результатов упражнения 5 следует

.

Для имеем

Для имеем

Аналогично

Таким образом,

Доказательство сходимости ряда и нахождение его суммы для произвольной матрицы теперь получается следующим образом: