Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить пределы:
а)
б)
в)
;
г)
;
д)
;
е)
ж)
з)
.
2. Используя теорему о существовании предела монотонной ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей:
а)
;
б)
в)
,
г)
,
3. Используя теорему Штольца, вычислить пределы
а)
б)
в)
г)
.
4. Доказать, что следующие рекуррентные последовательности имеют конечные пределы, и найти эти пределы:
а)
б)
в)
г)
д)
.
5. Пусть
.
Что можно сказать о пределе
?
6.
Доказать, что если
,
то
.
7.
Привести пример последовательностей
таких, что
,
и
.
8. Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения.
9.
Последовательность
такова, что
,
при
.
Доказать, что
.
10. Известно, что каждый член некоторой сходящейся последовательности положителен. Может ли предел такой последовательности быть равным нулю?
11.
Известно, что
,
и
для любого
.
Всегда ли
?
2.3. Предел функции. Непрерывность
Определение
1. Число А
называется
пределом функции
в точке
x0 , если для каждого
существует
такое, что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
справедливо неравенство
.
Символически это определение можно записать в виде
.
Так как
то определение 1 можно записать на языке окрестностей:
Аналогично
определяются пределы функции
в точке
слева (по множеству
)
и справа (по множеству
):
Связь между пределом функции и ее пределами слева и справа уста-навливается в следующем утверждении.
Утверждение
1. Функция
,
определенная на
,
имеет предел в точке
тогда и только тогда, когда в этой точке
существуют пределы слева и справа и они
равны. В этом случае
Определение
2. Функция
называется бесконечно
малой в точке
,
если
,
то есть
если для любого числа
существует такое число
что для
всех х, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Определение
3.
Функции
,
,
бесконечно малые в точке
,
называются
эквивалентными
в этой точке,
если
.
Определение
4.
Функция
называется бесконечно
малой более
высокого
порядка,
чем бесконечно малая
при
(обозначается
:
),
если
Числовая
последовательность
называется бесконечно
малой, если
её предел равен нулю:
.
Последовательности
являются бесконечно малыми: их пределами
является нуль. Понятие бесконечно малой
последовательности можно перенести на
функции.
Пример
1.
Показать, что функция
является
бесконечно малой при
.
Пусть
− произвольное положительное число.
Найдем такое число
,
что для всех х,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Таким
является
.
Следовательно, функция
является
бесконечно малой при
.
Остановимся на основных свойствах бесконечно малых функций. Эти свойства будут верны также и для бесконечно малых последовательностей.
1.
Если функции
являются
бесконечно малыми, то функция
также
есть бесконечно малая.
2.
Произведение
ограниченной при
функции
на бесконечно малую есть функция
бесконечно малая.
3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая.
Определение
5. Функция
называется
бесконечно большой при
если для любого числа
существует
такое число
,
что
для
всех х, удовлетворяющих неравенству
.
Обозначается это так:
.
Если
при этом
положительна
(отрицательна) в
,
то пишут:
.
Как видно из следующих свойств, которые верны и для последовательностей, бесконечно большие и бесконечно малые функции тесно связаны между собой.
1
.Если функция
бесконечно
большая, то
бесконечно
малая.
2.
Если функция
бесконечно
малая и не обращается в нуль, то
бесконечно
большая.
Пример
2.
Функция
бесконечно
большая при
,
так как функция
является
бесконечно малой при
.
При вычислении пределов функций часто используются следующие теоремы.
Теорема
1 (об
арифметических операциях с пределами)
Если
существуют конечные пределы
то имеют место
равенства:
1)
2)
3)
, если
Теорема
2 (о пределе
сложной функции). Пусть
функции
и
такие, что
и существуют конечные (бесконечные)
пределы
Тогда существует конечный
(бесконечный) предел сложной функции
при
и
.
Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций эквивалентна слагаемому наименьшего порядка.
Теорема
4.
Пусть
и
при
и существует
Тогда
Теорема 5. Пусть
,
,
и
.
Тогда
На практике
вычисление многих пределов функций
сводится, в той или иной мере, к
использованию первого
и второго
замечательных
пределов.
Следующая теорема существенно расширяет класс функций, к вычислению пределов которых применимы записанные выше формулы.
Теорема 6.
Пусть
.
Тогда
1)
2)
Определение
6. Функция
называется непрерывной
в точке
,
если
Утверждение
2. Функция
определенная на
,
непрерывна в точке
тогда и только тогда, когда выполняются
равенства
.
Определение
7. Функция,
непрерывная в каждой точке отрезка
,
(интервала
)
называется непрерывной
на этом отрезке
(интервале).
Определение
8. Точка,
в которой функция не является непрерывной,
называется точкой
разрыва
этой функции. Точка
разрыва функции f(x) называется точкой
разрыва первого рода, если существуют
односторонние пределы функции:
(при
этом функция f(x)необязательно должна
быть определена в точке
).
Скачком функции f(x) в точке называют разность
Все прочие точки разрыва функции f(x) называются ее точками разрыва второго рода. Точка разрыва первого рода, в которой
называется точкой устранимого разрыва.
Основные свойства непрерывных на отрезке функций заключены в следующей теореме.
Теорема
7. Если
функция
непрерывна
на
,
то:
1)
найдутся точки
такие,
что
,
;
2)
для любого числа
найдется
такое, что
.
В заключение приведем теорему, которая позволяет применять функциональные методы к вычислению пределов последовательностей.
Теорема
8. Пусть
дана последовательность
и функция
,
определенная на
и
.
Если существует
,
то
существует и равен А.
Эта
теорема особенно эффективна в тех
случаях, когда для вычисления
возможно применение правила Лопиталя.