3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления

Теорема 1 (правило Лопиталя). Пусть функции и удовлетворяют условиям:

1) дифференцируемы на множестве

2) или

3) при

4) существует предел

Тогда выполняется равенство

К использованию теоремы 1 сводится раскрытие неопределенностей вида Поясним сказанное на примере раскрытия неопределенности . Обратим внимание на то, что приводимые ниже рассуждения опираются на непрерывность функции на R.

Пусть функции и удовлетворяют условиям теоремы 1 (для определенности считаем, что в пункте 2 выполнено равенство ). Требуется вычислить предел Используя основное логарифмическое тождество, запишем:

Заметим, что правило Лопиталя позволяет вычислять пределы достаточно широкого класса функций. Однако в некоторых случаях использование этого правила формально возможно, но на практике не приводит к получению желаемого результата. Иногда в таких случаях бывает удобно использовать формулу Тейлора и приведенные ранее соотношения между бесконечно малыми функциями, а также некоторые другие методы.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти предел

Решение. Рассмотрим три возможные ситуации.

1. Тогда

и

2. Тогда

и

3. Обозначим

Тогда

Отсюда .

Пример 2.Найти предел .

Решение. Первый способ. Применим правило Лопиталя.

Второй способ. Так как в соответствии с формулой Маклорена

,

то

Пример 3. Вычислить .

Решение. Используя формулы Маклорена

и

получаем

Так как

то .

Аналогично

Подставляя полученные представления в исходное выражение, получаем

Пример4. Найти предел , используя правило Лопиталя.

Решение. Функция возрастает (так как ) и ограничена (так как ). Это означает, что существует предел Применим правило Лопиталя и получим

Таким образом, Так как при то

Заметим, что функции удовлетворяют дифференциальному соотношению для всех .

Упражнение

А. Пусть и для всех . Тогда если существует, то он равен 1 или –1.

Б. Описать все пары дифференцируемых функций , для которых выполнено равенство

для всех .

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить пределы

а)	б)
в)	г)
д)	е) ,
ж) ;	з) .

2. Определить таким образом, чтобы имело место равенство

а)

б)

3. Доказать, что если для функции существует вторая производная в точке , то

.

4. Определить из равенства

а) ;

б)

3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба

В этом разделе мы придерживаемся терминологии, предложенной в учебнике Г.М. Фихтенгольца “Курс дифференциального и интегрального исчисления” [3].

Определение 1. Функция называется выпуклой вверх на отрезке , если

для всех и положительных таких, что

Определение 2. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если

для всех и положительных таких, что

Замечание. Из определений 1 и 2 следует, что для любой пары точек , график выпуклой вверх (выпуклой вниз) на отрезке функции расположен не ниже (не выше) хорды, соединяющей эти точки.

Определение 3. Выпуклые на отрезке функции, для которых неравенство из определения выпуклости остается строгим при любом выборе и , называются строго выпуклыми.

Упражнение1. Используя определение, показать, что функция выпукла вниз на всей числовой оси.

Решение. Возьмем и и покажем, что выполнено неравенство

Действительно,

Таким образом, функция выпукла вниз на R.

Заметим, что в сформулированных определениях не наложено никаких ограничений на функцию , как то ограниченность или дифференцируемость. Однако все эти свойства находятся во взаимосвязи, раскрываемой следующим утверждением, которое мы приведем здесь без доказательства.

Утверждение 2. Пусть выпуклая вверх (выпуклая вниз) на отрезке функция ограничена на . Тогда непрерывна на и в каждой точке существуют левосторонняя и правосторонняя производные.

Если функция дифференцируема на отрезке , то мы можем сформулировать следующий геометрический критерий того, что функция является выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом отрезке.

Теорема 1. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы была выпукла вверх (выпукла вниз) на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы все точки ее графика лежали ниже (рис. 1.) (выше (рис. 2.)) графика любой своей касательной или на нем.

Рис. 1 Рис. 2

Для исследования на выпуклость вверх (выпуклость вниз) дважды дифференцируемых на отрезке функций удобно использовать следующий результат.

Теорема 2. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на отрезке . Для того, чтобы была выпукла вверх (выпукла вниз) на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы неравенство ( ) было выполнено для всех .