Задачи для самостоятельного решения
1. Разложить на линейные множители с комплексными коэффициентами многочлены:
а)
; б)
; в)
.
2. Разложить на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами многочлены:
а)
;
б)
;
в)
.
3.
При каких а и b
многочлен
имеет корень кратности два, отличный
от нуля.
4.
Доказать, что многочлен
не имеет кратных корней.
5.
Доказать, что многочлен
делится на
при всех
.
6.
Показать, что многочлен
не делится на
ни при каком значении параметров
7.
Определить, при каких
многочлен
делится на
.
8.
Найти все значения
,
при которых многочлены
и
имеют общий корень.
9. Найти многочлен наименьшей степени,
принимающий максимальное значение 6
при
и минимальное значение 2 при
.
10. Определить значения параметров
p и q,
при которых многочлен
имеет три различных вещественных корня.
11. Пусть многочлен
имеет только вещественные корни.
Доказать, что если а – кратный корень
многочлена
,
то
.
12. Доказать, что если
и
– многочлены степени n,
то либо
,
либо степень многочлена
не меньше n.
13. Определить количество вещественных
корней многочлена
.
14.
Показать,
что для заданных не равных между собой
действительных чисел
и
и натурального
найдутся единственные многочлены
и
,
такие, что
,
,
;
вывести отсюда равенства
,
.
Будут ли выполняться последние неравенства
, если не накладывать условий на степени
многочленов?
15.
Решить упражнение 3 без использования
результанта
2. Введение в анализ
2.1. Метод математической индукции
Этот метод используется для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для всякого натурального числа и применяется в различных разделах математики.
Алгоритм метода математической индукции
1. Непосредственными вычислениями устанавливается, что утверждение верно для .
2.
Делается предположение, что утверждение
верно для некоторого
или для всех
.
3.
Исходя из сделанного предположения,
доказывается, что утверждение верно
для
.
Отсюда следует, что утверждение верно
для всех
.
Пример
1. Доказать,
что
.
Решение. Используем метод математической индукции.
1.
Если
,
то
.
2. Предположим, что утверждение верно для , т.е.
.
3. Для с использованием предположения 2 получаем
что и требовалось доказать.
Бесконечной
числовой последовательностью (или
просто числовой последовательностью)
называется функция
,
определенная на множестве всех натуральных
чисел 1,2,…, n,…
. Значения последовательности
называются ее членами.
Последовательность
иногда обозначают так:
.
Это означает, что задана последовательность
с общим членом
.
По данному общему члену всегда можно
найти любой член последовательности
,
подставив в
вместо
n
число k.
Ниже приведены примеры последовательностей,
причем сначала приведена форма записи
,
а затем записаны первые члены:
1)
|
5)
|
2)
|
6)
|
3)
|
7)
|
4)
|
|
Пример
2.
Последовательность
положительных чисел
,
удовлетворяет
условию
для всех
.
Доказать, что для любого
имеет место оценка
.
Решение.
1.
Если
,
то
.
Откуда
.
Если
,
то
.
2.
Предположим, что
для произвольного
.
3.
Докажем, что выполнено неравенство
.
Во-первых,
покажем, что функция
возрастает на
.
Возьмем
.
Тогда
Отсюда и из того, что , в силу предположения 2 получаем
Пример 3 (Бином Ньютона)
Обозначим
для
,
(запись n!
читается «n-факториал»);
,
.
Биномом Ньютона называется равенство
.
Справедливость
этого равенства для всех
и
доказывается
методом математической индукции.
При
доказываемое равенство принимает вид
.
Последнее равенство верно, так как
.
Предположим, что равенство верно для
n=k.
Тогда для n=k+1
получаем
Так как для любых
выполнены равенства
,
то окончательно получаем
Таким образом, равенство полностью доказано.
С другими примерами использования метода математической индукции читатели столкнутся во многих следующих ниже разделах пособия.