Задачи для самостоятельного решения
1. Используя определение выпуклости вверх (выпуклости вниз), показать, что
а) функция
–
выпукла вверх на промежутке
и выпукла вниз на промежутке
;
б) функция
–
выпукла вниз на
;
в) функция
– выпукла вверх на промежутке
.
2. Всегда ли произведение двух выпуклых вверх функций является функцией выпуклой вверх?
3. Функция
непрерывно дифференцируема и выпукла
вверх на
.
Известно, что
существует и конечен. Доказать, что
.
4. Непрерывная
функция
выпукла вниз на
,
и
.
Доказать, что при
функция
возрастает.
5. Привести
пример выпуклых вниз на
функций
и
таких, что
6. Найти промежутки выпуклости вверх (выпуклости вниз) и точки перегиба графиков следующих функций:
а)
б)
в)
.
7. При каком значении параметра кривая
имеет точки
перегиба с абсциссами
,
где
– произвольное заданное число?
8. Доказать,
что кривая
имеет три точки перегиба, лежащие на
одной прямой.
9. Доказать,
что если функция
является выпуклой вниз и возрастает на
интервале
,
а функция
выпуклая вниз на интервале
,
то сложная функция
является выпуклой вниз на интервале
.
3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
Рассмотрим основные теоремы анализа, относящиеся к операции дифференцирования. К таковым традиционно относят следующие теоремы.
Теорема
Ферма. Пусть
функция
определена
в интервале
и в точке
принимает
наибольшее (наименьшее)
значение. Если существует производная,
то необходимо, чтобы
.
Теорема Ролля. Пусть функция :
1) определена и непрерывна на отрезке ;
2)
дифференцируема в интервале
;
3)
.
Тогда найдется точка такая, что .
Теорема Лагранжа. Пусть функция :
1) определена и непрерывна на отрезке ;
2) дифференцируема в интервале .
Тогда найдется точка такая, что
.
Теорема
Коши. Пусть
функции
и
:
1) определены и непрерывны на отрезке ;
2) дифференцируемы в интервале ;
3)
для всех
.
Тогда найдется точка такая, что
.
Примеры решения задач
Пример1.
Пусть полином
имеет n
различных
вещественных
корней. Показать, что полином
имеет
вещественных корней.
Решение.
Пусть
– корни полинома
.
Тогда
для всех
.
Применив теорему Ролля к функции
на каждом из отрезков
,
получим, что существуют
точек
,
для которых
.
Пример2.
Пусть
дифференцируема на отрезке
и
.
Доказать, что на интервале
найдется точка
такая, что
.
Решение.
Функция
непрерывна на отрезке
,
и, значит, по теореме 7 раздела 3.3 найдутся
точки
такие, что
Так
как
принимает на отрезке
значения разных знаков, то функция
не является монотонной на
.
Значит, по крайней мере одна из точек
(скажем,
)
не совпадает с концами отрезка
.
По теореме Ферма
.
Очевидно, что если
условия теоремы Лагранжа выполнены на
отрезке
,
то они будут выполнены на каждом отрезке
. Таким образом, каждой паре точек
ставится в соответствие одна или
несколько точек
таких, что
Заметим,
что «обратное» соответствие
построить для всех с
возможно
не всегда. Поясним сказанное следующим
примером.
Пример3.
Функция
удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа
на отрезке
Однако для
не существует чисел
таких, что
,
так как левая часть равенства положительна, а правая равна нулю.