- •Часть 1
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Основные классы квадратных матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определители. Ранг матрицы
- •1.2.1. Вычисление определителей
- •1.2.2. Вычисление ранга матриц
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.3. Обратная матрица
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Как изменится матрица , если совершить аналогичные преобразования со столбцами матрицы а?
- •1.4. Жорданова нормальная форма
- •1.5. Возведение матриц в степень. Нильпотентные матрицы. След матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.6. Многочлены
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Введение в анализ
- •2.1. Метод математической индукции
- •Алгоритм метода математической индукции
- •Решение. Используем метод математической индукции.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2.2. Пределы последовательностей
- •Упражнение 14. Найти
- •Примеры решения задач
- •Пример 2. Пусть , . Найти .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы:
- •2.3. Предел функции. Непрерывность
- •Примеры решения задач
- •Пример 8. Доказать, что если функция непрерывна на отрезке и имеет обратную функцию, то она монотонна на этом отрезке.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.1. Производная функции. Вычисление производной по определению
- •Если он существует и конечен, называется правосторонней (левосторонней) производной и обозначается . Если существует производная , то будем говорить, что дифференцируема в точке .
- •Теорема 2. Если существует производная , то функция непрерывна в точке .
- •Примеры решения задач Пример 1. Пусть Подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция была дифференцируемой в точке .
- •Заметим, что как произведение бесконечно малой функции на ограниченную , после замены получим
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Показать, что функция , где – непрерывная функция и , не имеет производной в точке .
- •2. Пусть
- •3.2. Вычисление пределов функций с использованием методов дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1. Вычислить пределы
- •3.3. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба
- •Важную роль при исследовании функции на выпуклость вверх (выпуклость вниз) играют точки, в которых происходит изменение направления выпуклости функции.
- •В этом разделе будут рассмотрены основные свойства выпуклых вниз (вверх) функций, заданных на отрезке .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Примеры решения задач
- •Обратим внимание на то, что является точкой перегиба функции . Оказывается, что этот факт верен для любой дважды дифференцируемой функции.
- •Так как , то , что и требовалось доказать.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Исследование функции нескольких переменных на экстремум
- •7. Доказательство тождеств с использованием свойств дифференцирования
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Производные высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Заключение
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить для
.
Решение. Обозначим
.
Из равенства и правила умножения матриц получаем систему для нахождения :
Вычитая из второго уравнения третье, из третьего – четвертое и, наконец, из (n–1)-го уравнения n-е уравнение получаем . Теперь из первого уравнения получаем , из второго – .
Аналогично вычисляем элементы матрицы, состоящие в остальных столбцах, и получаем , если , .
Таким образом,
.
Пример 2. Вычислить для
.
Решение. Используем метод элементарных преобразований. Проиллюстрируем этот метод для матрицы порядка 4. Построим матрицу размерности и преобразуем ее следующим образом: из третьей строки вычтем четвертую и результат запишем вместо третьей строки, затем из второй получившуюся третью и из первой получившуюся вторую. В итоге получим матрицу , где .
.
Таким образом, .
Очевидно, что описанный метод безо всяких изменений применим в общем случае и дает следующий результат:
.
Пример 3. Доказать, что если матрица обратима, то матрица также обратима.
Решение. Первый способ. Предположим, что матрица необратима, тогда найдется вектор такой, что . В этом случае
Так как – обратимая матрица, то . Отсюда получаем, что
что противоречит нашему предположению.
Второй способ. Непосредственной проверкой убедиться, что
Пример 4. Найти матрицу, обратную , где А и С –обратимые матрицы одного порядка.
Решение. Первый способ. Иногда (в частности, и в этом случае) бывает удобно начинать решение задачи с рассмотрения простейшего частного случая. Для начала будем считать, что А, В, С – матрицы первого порядка, то есть обыкновенные числа, причем и . Тогда
При переходе к общему случаю нужно обратить внимание на выбор порядка множителей , так как умножение матриц, в отличие от умножения чисел, – некоммутативная операция. Путем несложного перебора убеждаемся, что Действительно,
Второй способ. Пусть – искомая матрица. Тогда
Отсюда получаем четыре матричных уравнения
Так как А обратима, то и .
Так как С обратима, то
Таким образом,
Пример 5. Пусть А – обратимая матрица порядка n. Доказать, что обратима и .
Решение. Возьмем два произвольных вектора и рассмотрим их скалярное произведение:
(согласно утверждению 2 раздела 1.1)
Отсюда следует, что
Так как x – произвольный вектор, то можем сделать подстановку , которая приводит к равенству
Так как модуль вектора равен нулю, только если этот вектор нулевой, то получаем равенство
Так как y – произвольный вектор из то последнее равенство верно только в случае, когда матрица – нулевая, то есть . По определению обратной матрицы это означает, что .
Задачи для самостоятельного решения
1.Найти обратные матрицы для следующих матриц:
а) б)
в) г)
2. Найти матрицу из уравнения
3. Найти обратную матрицу для матрицы , где – обратимые матрицы одного порядка. Используя полученный результат, вычислить
4. Пусть – обратимые матрицы одного порядка. Показать, что равенства
равносильны.
5. Пусть – матрицы порядка . Доказать, что найдутся чисел , не равные нулю одновременно, такие, что матрица необратима.
6. Пусть A – квадратная матрица порядка с нулями на главной диагонали и числами вне диагонали. Доказать, что при четных матрица А невырожденная, а при любом нечетном матрица А может быть и вырожденной и невырожденной. Привести соответствующие примеры.
7. Доказать, что если матрица А нильпотентная, то матрицы Е–А и Е+А обратимы.
8. Решить уравнение AX + X + A = 0, где А – заданная нильпотентная матрица.
9. Указать, как изменится обратная матрица если в матрице А:
а) переставить i-ю и j–ю строки;
б) i-ю строку умножить на число с, не равное нулю;
в) к i-й строке прибавить j-ю, умноженную на число с.