Министерство образования и науки РФ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

А.И. Барсуков, М.Ю. Глазкова, В.И. Минаков

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Часть 1

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Воронеж 2013

УДК 510(07)

ББК 22.1я73

Б261

Рецензенты:

кафедра высшей математики и механики Воронежского

аграрного университета;

Азизов Т.Я., доктор физ.-мат. наук, проф. кафедры теории функций

и геометрии Воронежского государственного университета

Барсуков, А.И. Задачи повышенной сложности по высшей

Б261 математике: учеб.-метод. пособие / А.И. Барсуков,

М.Ю. Глазкова, В.И. Минаков; Воронежский ГАСУ. – Воронеж,

2013. − 120 с.

ISBN 978-5-89040-469-5

Учебное пособие содержит примеры решения задач повышенной

сложности по линейной алгебре и математическому анализу. Приводятся решения типовых задач нестандартными методами.

Предназначено для студентов всех специальностей и направлений. Также пособие может быть использовано для работы в математических кружках.

Ил. 4. Библиограф. 6 назв.

УДК 510(07)

ББК 22.1я73

ISBN 978-5-89040-469-5

© Барсуков А.И., Глазкова М.Ю., Минаков В.И., 2013 © Воронежский ГАСУ, 2013

ВВЕДЕНИЕ

В Воронежском ГАСУ, начиная с 2004 года, проводятся студенческие математические олимпиады. На олимпиадах, как и всяких соревнованиях, есть победители, которые получают премии и призы, но большинство участников не получают ни премий, ни призов. Однако здесь нет побежденных. Даже само знакомство с новыми оригинальными задачами и нестандартными методами их решения откроет перед вами новые горизонты.

Ни для кого не секрет, что научно-технический прогресс невозможен без развития фундаментальных наук, особое место среди которых занимает математика.

Математические модели, применяемые ранее для решения задач меха− ники, физики, используются сейчас в медицине, экономике, химии, биологии.

Математические олимпиады способствуют повышению интереса к ма−

тематике, помогают не теряться при решении нестандартных задач.

Мы предлагаем начать с решения задач, приведенных в данном пособии.

Учебно-методическое пособие содержит примеры решения задач повышенной сложности по основным разделам курса математики для втузов. Приводятся также решения типовых задач нестандартными методами.

В первой части пособия рассмотрены следующие разделы высшей математики: линейная алгебра, введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функции одной переменной. В каждом разделе приведены краткие теоретические сведения, необходимые для решения задач, задачи для самостоятельного решения.

1. Линейная алгебра

В этом разделе рассмотрены свойства и основные способы вычисления определителей, действия над матрицами (в особенности нахождение обратной матрицы и вычисление степеней матриц), а также некоторые вопросы, касающиеся многочленов с комплексными и вещественными коэффициентами.

Обозначим множество всех векторов с комплексными (веществен-ными) координатами символом . Нулевой вектор пространства будем обозначать символом . Вектор х будем обозначать одним из символов или = . Обе эти записи обозначают одно и то же, если мы говорим о векторе . Кроме того, на запись мы будем смотреть как на матрицу с n строками и одним столбцом.

Под скалярным произведением векторов будем понимать комплексное число

где – число, сопряженное к для всех .

Свойства скалярного произведения:

1)

2)

3)

Векторы называются ортогональными, если ; модуль вектора определяется равенством

Матрицу с элементами будем обозначать , где – число строк (столбцов) в матрице . Если , то для обозначения матрицы также будем использовать символ . В случае n≠m (n=m) матрица называется прямоугольной (квадратной).

Пусть , тогда транспонированная матрица определяется равенством ; сопряженная матрица определяется равенством . Из определения следует, что число строк (столбцов) в сопряженной и транспонированной матрицах равно числу столбцов (строк) в исходной матрице.