5.РЯДЫ

5.1.Понятие числового ряда

n=1

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа a1, a2, , an , называются членами ряда, член an с произвольным номером −общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ,

Sn = a1 + a2 + a3 + + an ,

называются частичными суммами ряда (5.1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

S1 , S2, S3, , Sn , (5.2)

Ряд (5.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (5.2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (5.1). Символически это записывается так:

∞

S = a1 + a2 + a3 + + an + или S = ∑an .

n=1

Если же последовательность частичных сумм (5.2) расходится, то ряд (5.1) называется расходящимся.

Пример. Покажем, что ряд

сходится. Возьмем сумму Sn первых п членов ряда

82

Отсюда следует, что предел последовательности частичных сумм данного ряда равен единице:

Таким образом, ряд сходится, и его сумма S равна 1.

Имеют место следующие свойства сходящихся рядов.

На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Теорема 1. Если сходится ряд

n=k +1

и обратно, если сходится ряд (5.4), то сходится и ряд (5.3).

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.

∞

Теорема 2. Если ряд∑an сходится и его сумма равна S,

n=1

∞

то и ряд ∑can , где с −некоторое число, также сходится, и

n=1

83

его сумма равна c S.

Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

∞ ∞

Теорема 3. Если ряды ∑an и ∑bn сходятся и их сум-

n=1 n=1

∞

мы соответственно равны S и s , то и ряд ∑(an ±bn )

n=1

сходится и его сумма равна S±s .

Втеории рядов обычно рассматриваются две задачи:

1)исследование ряда на сходимость; 2) определение суммы сходящегося ряда.

Рассмотрим, как исследовать ряд на сходимость.

∞

Теорема 4. Если ряд ∑an сходится, то его общий член

n=1

стремится к нулю, то есть, nlim→∞ an = 0.

Условие nlim→∞ an = 0 является необходимым, но не доста-

точным условием сходимости ряда.

Если необходимое условие сходимости выполнено, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо провести дополнительное исследование с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же необходимое условие не выполняется, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

5.2. Ряды с неотрицательными членами

Приведем признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

84

Теорема 5. (признак сравнения). Пусть даны два ряда

В качестве ряда, с которым производим сравнение берем следующие ряды:

1) ряд, составленный из элементов геометрической про

сходится при α >1 и расходится при α ≤1 , причем при α ≤ 0 такие ряды также расходятся.

85

∞

Теорема 6. (признак Даламбера). Пусть дан ряд ∑an

необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

что необходимый признак сходимости выполняется, однако по

Теорема 7. (интегральный признак). Пусть дан ряд

∞

f (1)+ f (2)+ f (3)+ + f (n)+ = ∑ f (n),

n=1

86

члены которого являются значениями некоторой функции f (x) , положительной, непрерывной и убывающей на полуин-

+∞

тервале[1, + ∞). Тогда, если ∫ f (x)dx сходится, то сходится и

5.3. Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим знакочередующиеся ряды, то есть ряды члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде

где an > 0.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак сходимости.

Теорема 8. Признак Лейбница. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда (5.5) монотонно убыва-

ют: a1 > a2 > a3 > и общий член ряда стремится к нулю: nlim→∞an = 0, то ряд сходится.

Пример. Ряд

∞

1 − 12 + 13 − 14 + + (−1)n+1 1n + = ∑(−1)n+1 1n

n=1

сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница:

ся от гармонического ряда только знаками ч тных членов.

87