если поверхность S представляет собой область плоскости Oxy, ограниченная контуром L (в этом случае интегралы по dzdx и dydz обращаются в нуль).

Пример. Вычислить с помощью формулы Стокса инте-

верхняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 =1 ( z > 0) и контур

L проходится в положительном направлении.

Решение. Так как

то криволинейный интеграл по любой пространственной замкнутой кривой L равен нулю:

L

Это показывает, что в данном случае криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования, а следовательно условия (4.11) являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства (4.12).

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы второго рода:

79

1.∫∫(x2 + y + z2 )dxdz; S − внутренняя сторона поверхности

S

x2 = 2y, отсеченная плоскостями y = 2, z = 0, z= 1.

2.∫∫(x2 + z2 + y2 )dxdz; S −внешняя сторона поверхно-

S

сти y = x2 + z2 , отсеченная плоскостями y = 0, y =1.

3. ∫∫(x2 + y 2 + z 2 )dydz; S − внутренняя сторона части

x = y 2 + z 2 .

4.∫∫(5x2 + 5y2 + z2 )dxdy; S − внешняя сторона части

S

верхней полусферы z = 4 − x2 − y 2 , вырезанная конусом z = x2 + y 2 .

5.∫∫(x2 + y 2 + 3z 2 )dxdy; S – внешняя сторона поверхности

S

z= x2 + y2 , отсеченная плоскостями z = 0, z = 2.

Спомощью формулы Остроградского вычислить поверхностные интегралы:

6.∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy; S −внешняя сторона пирами-

S

ды, ограниченнаяплоскостями x+y+z = 1,x =0,y =0,z =0.

7.∫∫x2dydz + y2dzdx + z 2dxdy; S −внешняя сторона по-

S

верхности куба 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ z ≤1.

80

x2 + y 2 = a2 (−1 ≤ z ≤1).

С помощью формулы Стокса вычислить криволинейные интегралы:

x + y + z = 0, S – часть плоскости x + y + z = 0, ограниченная данной окружностью.

12.∫(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz; L − окружность

L

x2 + y2 + z2 = a2, x+y+z=0, S – часть плоскости x + y + z = 0, ограниченная данной окружностью.

Ответы

1. 1. 2.22π. 3.22π. 4.π5 (93 −1). 5. 10π . 6. 28/3. 7.−π .

8.−πR4 / 2. 9. 16π . 10. −32π . 11. 1/2. 12. 3. 13.4πabc. 14.πa2b2 / 2. 15.6πa2. 16.−πa 2 3. 17. 0.

81