МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет»
А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко, О. А. Соколова
МАТЕМАТИКА
Практикум
Воронеж 2021
УДК 517.2(075.8) ББК 22.1я7
Б95
Рецензенты:
кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.- мат. наук, проф. В. А. Костин);
канд. физ.- мат. наук, доцент кафедры математического анализа ВГУ И. В. Колесникова
Бырдин, А. П.
Математика: практикум / А. П. Бырдин, А.А. Сидоренко,
Б95 О. А. Соколова. − Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». − Воронеж: Изд-во ВГТУ,
2021. −167с.
ISBN 978-5-7731-0923-5
Практикум содержит теоретический материал, необходимый для решения прикладных задач, который иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения и типовых расчетов.
Предназначен для обучающихся по направлению 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»), очной формы обучения.
Ил. 32. Библиогр.: 6 назв.
УДК 517.2(075.8) ББК 22.1я7
Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ISBN 978-5-7731-0923-5 |
© Бырдин А. П., Сидоренко А. А., |
|
Соколова О.А., 2021 |
|
© ФГБОУ ВО«Воронежский |
|
государственный технический |
|
университет»,2021 |
ВВЕДЕНИЕ
При написании практикума был использован опыт проведения практических занятий по курсу «Математика» для различных направлений и специальностей Воронежского государственного технического университета. Издание предназначено для студентов очной формы обучения направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело» и написано в соответствии с рабочей программой.
Представлен материал, который изучается в третьем семестре. Цель работы – помочь студентам усвоить и закрепить основные положения линейной алгебры, аналитической геометрии и начала анализа.
Авторы стремились изложить материал по возможности полно, строго и доступно. Представленная работа направлена на совершенствование учебного процесса и способствует целенаправленному использованию знаний математики. Практикум поможет студентам лучше усвоить теоретический материал, даст возможность самостоятельно научиться решать типовые задачи, подготовиться к экзамену или зачету.
По каждому разделу приведены примеры решения задач, а также многочисленные задачи для контроля усвоения материала. Ко всем рекомендуемым для самостоятельного решения задачам авторами приводятся ответы. Представленный практикум может быть использован на практических занятиях.
Приведенные в работе иллюстрации являются авторскими.
3
1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функций двух переменных.
Рассмотрим некоторую замкнутую ограниченную
область G. Функция z = f (х,у) − непрерывная, определенная и ограниченная в этой области.
Рис.
Рис. 1
Произвольным образом разобьем область G на п
частей Gi не имеющих об-
щих внутренних точек, площадь каждой из них
обозначим ∆si (i =1, 2, ..., n) (рис. 1). В каждой области Gi выберем произвольную
точку (ξi , ηi ) и составим
интегральную для функции f(x,у) сумму
n |
(1.1) |
|
s = ∑f (ξi , ηi )∆si , |
||
|
i=1
Наибольшее расстояние между граничными точками этой области будем называть диаметром d(G) области G, а через λ обозначим наибольший из диаметров частичных обла-
стей Gi λ = max {d(Gi )} .
1≤i≤n
Определение. Если интегральная сумма (1.1) приλ → 0 имеет предел, равный I, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (х,у) по области G и обозначается одним из следующих символов:
I = ∫∫f (x, y)ds = ∫∫f (x, y)dxdy.
G G
4
Вэтом случае функция f (x,у) называется интегрируемой
вобласти G, G − областью интегрирования, х и у − переменными интегрирования, ds (или dxdy) − элементом площади.
Рассмотрим геометрический смысл двойного интеграла. Зададим в пространстве тело Р, так называемый криволинейный ци-
линдр (рис. 2).Тело ограниченно сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z = f (x,у), определенной в области G. С боков тело ограничено цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Оz, снизу ограничено областью G, лежащей в плоскости Оху.
Найдем объем тела Р. Интегральная сумма (1.1) представляет собой сумму объемов прямых цилиндров с
Рис. 2 |
площадями оснований ∆si , и |
высотами f (ξi , ηi ) , которую можно принять за приближенное
значение объема тела Р:
n
v p ≈ ∑f (ξi , ηi )∆si .
i =1
Чем мельче будет разбиение области G на части, тем это равенство будет точнее, а п ри переходе к пределу при λ → 0равенство становится точным:
n
vp = λlim→0∑i =1 f (ξi , ηi )∆si .
А так как предел интегральной суммы равен двойному интегралу то, объем тела
vp = ∫∫f (x, y)dxdy.
G
5
Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х = 0, у = 0, z = 0 и х+у+z = 1 (рис. 3).
Рис. 3 |
Рис. 4 |
Решение. Имеем |
v = ∫∫(1 − x − y)dx dy, где G−область, |
G
ограниченная прямыми х = 0, у = 0, х+у = 1. Расставляя пределы интегрирования в двойном интеграле, получаем
|
1 |
1−x |
|
|
|
1 |
|
|
|
y2 1−x |
|
|||
v = |
∫ |
dx |
∫ |
(1 − x |
− y)dy = |
∫ |
|
− x)y − |
2 |
|
|
dx = |
||
0 |
0 |
0 |
(1 |
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
∫(1 − x)2dx |
= |
6. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти объем тела, ограниченного параболоидом z =x2+y2 , цилиндромy =x2 и плоскостямиy = 1 и z=0 (рис.5).
Рис. 5
6