Ответы

x2 + y2 = 2,

5.24. D: f =

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1934.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

26.2z = x2 + y2, z = 2.

27.z = x2 + y2, x2 + y2 + z2 = 2.

28.z =x2 + y2 , z = x2 + y2.

29.x2 + y2 − z =1, z = 0.

30.z = 0, x2 + y2 = 4z, x2 + y2 = 2x.

				Ответы
1.−2. 2.	3/2.	3. −9/8. 4. π		.	5.	1ln	128. 6. 54.				7. 54.		8. 1/24.
						2	125
9. 1/6.	10. 0.	11. 1/8.	12.1/48.			13.	1 ln2−		5	.
9. 1/6.	10. 0.	11. 1/8.	12.1/48.			13.	1 ln2−	16		.
	(a2 + b2 + c2 ).						2	16
14. abc	(a2 + b2 + c2 ).		15.	4	πR5.		16.π / 6.				17.πR4 .		18.	8.
3				5
19.πR4 /16. 20.16π / 3.			21.3π / 2. 22. 24. 23. 12. 24.									1 abc.		25.
												6

πa3 / 2. 26. 4π.27.π6 (82 −7). 28.π / 6. 29.π / 2. 30.3π / 8.

Индивидуальные задания

Задача 1

Изменить порядок интегрирования.


−1	0	0	0
1.1. ∫ dy	∫	fdx + ∫ dy	∫ fdx
−2 − 2+y		−1 −		−y

	1				0													2			0
1.2. ∫dy								∫				fdx + ∫ dy									∫							fdx
	0				−						y				1					−	2−y2

	1					y													2−y2
	1					y										2			2−y2
1.3. ∫dy∫ fdx + ∫ dy																				∫			fdx
	0				0										1				0
	1														2
	1							y							2					2−y
1.4. ∫dy ∫											fdx + ∫dy									∫		fdx
	0				0										1				0
	−1											0							0		0
1.5.	∫				dx								∫				fdy + ∫ dx∫ fdy
	−	2								−			2−x2							−1					x
	1										arcsin y								1								arccos y
	1		2								arcsin y								1								arccos y
1.6.	∫					dy							∫				fdx + ∫							dy					∫		fdx
	0											0							1									0
	0											0							1		2							0
																					2

	−1								2+y						0						−y
1.7.	∫ dy										∫			fdx + ∫ dy							∫					fdx
	−2									0								−1			0
	1				0												e		−ln y
1.8. ∫dy								∫				fdx + ∫dy								∫		fdx
	0				−						y				1					−1
																							x2
	−1											2−x2							0				x2
1.9.	∫				dx							∫				fdy + ∫ dx ∫										fdy
	−	2										0								−1	0
	−											0									0							0
	−			3								0									0							0
1.10.		∫					dx							∫				fdy +			∫ dx								∫		fdy
	−2										−			4−x2						−			3						4−x2	−2

1		1							e	1
1.11. ∫dx			∫			fdy + ∫dx ∫							fdy
0 1−x2								1		lnx
1		3						2		2−y
1		3	y					2		2−y
1.12. ∫dy ∫					fdx + ∫dy ∫								fdx
0		0						1		0
π		sin y							π	cos y
4		sin y						2		cos y
1.13. ∫dy ∫						fdx + ∫dy					∫ fdx
0		0							π		0
								4
−1					0					0	0
1.14. ∫ dx					∫			fdy + ∫ dx ∫								fdy
−2		−(2+x)								−1	3				x
1								e		1
1			y					e		1
1.15. ∫dy ∫					fdx + ∫dy ∫								fdx
0		0						1		ln y
1		0						2			0
1.16. ∫dy			∫			fdx + ∫dy							∫			fdx
0		−			y			1		−			2−y
1		0									0
1		0							2		0
1.17. ∫dy ∫					fdx + ∫ dy								∫			fdx
0		−y						1		−		2−y2
1		y2						2		2−y
1.18. ∫dy ∫					fdx + ∫dy					∫		fdx
0		0						1		0
					0						2					0
	3				0						2					0
1.19. ∫ dx						∫			fdy + ∫ dx								∫	fdy
0				4−x2			−2						3	−			4−x2

	−1			0					0		0
1.20.	∫ dy			∫		fdx + ∫ dy ∫								fdx
	−2		−(2+y)						−1		3	y
	1		y			e			1
1.21. ∫dy∫ fdx + ∫dy ∫ fdx
	0	0				1			ln y
			x2
	1									2−x2
	1						2			2−x2
1.22. ∫dx ∫				fdy + ∫ dx							∫		fdy
	0	0				1					0
	π 4		sin x						π		cos x
1.23.	π 4		sin x						2		cos x
1.23.	∫ dx			∫	fdy + ∫dx						∫		fdy
	0			0					π		0
									4
1.24.	−1				0						0		0
1.24.	∫		dy		∫			fdx + ∫ dy∫ fdx
	−	2		−	2−y2						−1			y
	1		x3			2			2−x
1.25. ∫dx ∫				fdy + ∫dx ∫							fdy
	0	0				1			0

Задача 2

Плоская пластина имеет вид области D и поверхностную плотность ρ(x, y). Найти массу пластины.

2.1.	D:	x = 0,x = 2,
		y =1, y = 2.
		ρ = y .
2.3.	D:	x = −2,x = 0,
		y = 0, y = 3.

2.2. D:	x = −1,x = 2,
2.2. D:	y = 0, y =1.
	ρ = x .
2.4. D:	x = −1, x =1,
2.4. D:	y = 0, y = −1.

ρ= y2.

x=1,x = 2,

2.5.D: y = e, y = e2.

ρ = 1y .

2.7.	D:	x = e, x = e2,
		y = −1, y =1.

		ρ = 1 .
		x
2.9.	D:	x = −1,x = −3,
		y =1, y = 2.
		ρ = y + x.
2.11. D:		x =1, x = e,
		y = 0, y =1.
		ρ =	y	.

			x
2.13. D:		x = −1,x = 0,
		y = −1, y =1.
		ρ = xy2 .
2.15. D:		x = 0,x = 2,
		y = 0, y =1.

ρ = x − y .

ρ = x2.

x = 0,x = −2,

2.6. D: y = −1, y = 2.

ρ = y2 .

x= 0,x =1,

2.8.D: y = −1, y = −2.

ρ= x12 .

2.10. D: x = −1, x =1,

y =1, y = 2.

ρ = xy .

x = 0,x = 2,

2.12. D: y = −1, y = −2.

ρ = x2y .

x = −1,x = 2,

2.14. D: y =1, y = e.

ρ = xy .

x =1,x = 0,

2.16. D: y = −1, y = 2.

ρ = y2 .

x=1,x = 2,

2.17.D: y = 0, y = 2.

ρ= xy2 .

x=1,x = 2,

2.19.D: y = 0, y = ln2.

ρ= ey .

x= π , x = π ,

2.21.D: 6 2

y = −1, y = −2.

ρ= cos x .

x= −1, x =1,

2.23.D: y = −2, y = −1.

ρ = y2 .

2.25. D: x = 0,x =	π	,
	2

y= 0, y =1.

ρ= x cos xy .

x= −1, x =1,

2.18.D: y = −3, y = 3.

ρ= x2y2 .

x= −π, x = −π ,

2.20.D: 2

	y = −2, y =1.
	ρ = sin x .
2.22. D:	x = −2,x = −1,
	y = −1, y =1.
	ρ =	1	.

		x2
2.24. D:	x = −1,x = 0,
	y = −2, y = 0.

ρ = xy3.

Задача 3

Вычислить двойной интеграл ∫∫ f (x, y)dxdy .

y= 2x −1, y = 2x −4,

3.1.D: y = 0, y = 2.

f = y2 .

y =1, y = 2,

3.3. D: y = x, y = x +4.

f = y2 .

y = 0, y = 2,

3.5. D: 3x −2y +6 = 0, 3x −2y +9 = 0. f = yx .

y = 2, y = 3,

3.7. D: y = 5x +5, y = 5x +10. f = y2x .

y = 0, y = −2,

3.9. D: 2x − y +2 = 0, 2x − y +4 = 0.

f = y3.

y = −1, y = −3,

3.11.D: x − y +1= 0, x − y +5= 0. f = y3x .

y = 0, y = −1,

3.13.D: x − y = 2,

x− y = 3.

x= 0,x =1,

3.2.D: y = 3x +4, y = 3x +7 f = x2.

x= 2,x = 4,

3.4.D: x + y = 5,x + y = 7.

f= x12 .

x= −2,x = 0,

3.6.D: 2x −3y +6 = 0, 2x −3y +12 = 0.

f= x + y .

x= −3,x = −2,

3.8.D: x − y +6 = 0,

x− y +9 = 0.

f = x2y .

x= 0,x = −3,

3.10.D: x − y +1= 0,

x− y +5= 0.

f= x3y .

x= −2,x = −1,

3.12.D: x − y +1= 0,

x− y −3= 0.

f = x2y2 . x = 0,x = 4,

3.14.D: x − y = 6,

x− y = 9.

	x
f =		.
	2y +5

y = −3, y = −5,

3.15.D: x − y = 9,

x− y = 7.

	x
f =		.
	2y +16

y = 2, y = −2,

3.17.D: y − x = 3,

x− y = 3.

f =	1		.
	x ln	y +3

		y −3

y=1, y − x = 2,

3.19.D: x + y = 6,

f =	1	.
	4 − y

y= −x, x − y = 6,

3.21.D: y = −1,

f =	1	.
	y +3

y= 0,x +2y = 0,

3.23.D: x − y +9 = 0,

f =	1	.
	3− y

	y
f =		.
	6x −45

x = 2,x = 5,

3.16. D: x − y = 4, x − y = 7.

f = y(ln1x−4 ) .

x−7

3.18. D:

x = 2,x − y = 3,

x + y = 5

2 −8x +15

− x)y2

x = 2,x − y = 3,

3.20. D: x + y +5= 0,

x +1

3.22. D:

y = −3, y − x = 2,

x +3y = 6,

2− y

3.24. D:

x −3y = 0,

x + y + 4 = 0, y = −4,

f =

y +1

x − y +5= 0,x + y +5= 0,

3.25. D: x = 0,

f =	1	.
	x +5

Задача 4

Найти площадь области

4.1. D:	5x −6y =18, xy =12,
	9x = (y +3)2.
	y = 2x + 2,			y = x,
4.3. D: y =		2	.
		x +1

	y = sin x,			y = cos x,
4.5. D: x =		3π .
		4

4.7.D: 2x = y2 +1, x + y = 2,

x− y = 2.

y2 −2y + x2 = 0, 4.9. D: x2 + y2 = 4 y,

y = x.

4.11. D: 2xy==16. x, 2xy =1,

D .


	x = y2, y =
4.2. D:				4x −3,
4x −4y = 3.
4.4. D:		y = 2x , y = 2−x ,
		x	=1.

4.6. D:		y = tgx, x + y −π =1,
		y = −1
4.8. D:		xy = 3, y − x = 2,
		y =1.

4.10.D: x = 8− y2, x = −2y,

x= 2y.

xy = 3, y − x = 2,

4.12. D: 3y = x.

4.13.D: x = 5− y2,

x= −4 y.

4.15.D: y = 32x , y = 23x ,

x= e2.

y= sin x, y = cos x,

4.17.D: −34π ≤ x ≤ 54π .

y= sin x, y = −sin x,

4.19.D: 12x −6π y −5π = 0.

4.21.D: y = ex , y = ln x,

x+ y =1, x + y = e +1

	y = e−x ,			y = −ex,
4.23. D: y =		x	.

		e
4.25. D:	y = ln x,			y = −ln x,
	y = −ln2,			y = ln2.

x2 + y2 =12,

4.14. D: −6 y = x2, y ≤ 0.

4.16. D: xy = 2, y = 7ex , y = 2, y = 7.

y =11− x2, y = −10x,

4.18.D: 7x −2y = 0.

x2 + y2 = 6x,

4.20.D: x2 + y2 =10x,

	y =	x	, y =					x
						3

	3
4.22. D:	y = ln x,			y =			x		,

	y = −1.						e

4.24. D:	y = ex ,			y = e−x ,
	x = −ln2,				x = ln3.

Задача 5

Записать двойной интеграл

координатах и вычислить его.

5.1. D:	1≤ x2	+ y2	≤ 3, x =	y

	f = x	2 + y	2.

x2 + y2 =1,

5.3. D: x2 + y2 = 4,

	f	=	1				.

					x2 + y2
	(x −1)2 +(y −1)2 = 2,
5.5. D:	f	=	x2 + y2 .
			(x + y)2
	x2 + y2 =1, y ≥1− x
5.7. D:	f	=	(x + y)2 .
			x2 + y2
5.9. D:	x2 +(y −					2)2 = 2,
	f	=	x	.
			y

∫∫ f (x, y)dxdy в полярных

(x −1)2 + y2 =1,

5.2. D: x2 + y2 f = x2 .

(x − 2)2 + y2 = 4,

5.4.D: y ≥ 0,

f = x2 + y2 . x

x2 + y2 = 2, y ≥ −x

5.6. D:

= x2 + y2 .

5.8. D:

x2 + y2 = 2,

y =

= y2 + x2 .

5.10. D:

x2 + y2 = 3,

x ≥ 0

f = arctg

5.11. D:

5.13. D:

5.15. D:

5.17. D:

5.19. D:

5.21. D:

5.23. D:

x2 +(y −1)2 =1, x ≥ 0 f = x2xy+ y2 .

x2 + y2 = 2, y ≥ x

f= x2 + y2. x = − y

f= x2x+2y2 . x2 +(y +1)2 =1,

x ≤ 0 f = x.

x2 + y2 = 2, y ≤ −x f = xx2 + y2.

x2 + y2 =1, y = − x f = x2y + y3.

(x +1)2 +(y +1)2 = 2,

f =	1	.

	x2 + y2

	(x +1)2 = 2,
5.12. D:	f	=		(x2 + y2)	.
	f	=			.
				(x − y)2
	x2 + y2 =1, y ≤1+ x
5.14. D:	f	=	(x − y)2 .
				xy

(x +2)2 + y2 = 4,

5.16.D: y ≥ 0,

f	=			y	.
f	=				.
				x
(x +1)2 +(y +1)2 = 2,
5.18. D: f	=				x2	.
			(x + y)2
x2 + y2 =1,
5.20. D: y ≤ −x −1,
f	=			x + y		.
f	=	x2 + y2				.
		x2 + y2

5.22. D: x2 +(y +1)2 =1, f = x.

1≤ x2	+ y2 ≤ 3, y ≥ 0,
5.25. D:
		x2 + y2.
f = y

Задача 6

Вычислить объем тела V, ограниченного данными поверхностями.

x2 + y2 = 2y,

6.1. V: z = 54 − x2, z = 0.

x2 + y2 =82x, 6.3. V: z = x2 + y2 −64,

z ≥ 0.

x2 + y2 = 6x,

6.5. V: x2 + y2 = 9x,

z = x2 + y2,z = 0

x2 + y2 = 2y, 6.7. V: z = 94 − x2,

z = 0.

x2 + y2 = y,

6.2. V: x2 + y2 = 4 y,

z= x2 + y2 ,z = 0

x2 + y2 +4x = 0,

6.4.V: z =8− y2,

z= 0.

x2 + y2 = 62y,

6.6.V: z = x2 + y2 −36,

z= 0,z > 0.

x2 + y2 = 2y,

6.8.V: x2 + y2 = 5y,

z= x2 + y2 ,z = 0.

x2 + y2 +22y = 0, 6.9. V: z = x2 + y2 −4,

z ≥ 0.

x2 + y2 = 7x,

6.11. V: x2 + y2 =10x,

z = x2 + y2 ,z = 0.

x2 + y2 = 2y, 6.13. V: z = 134 − x2,

z = 0.

x2 + y2 = 62x, 6.15. V: z = x2 + y2 −36,

z ≥ 0.

x2 + y2 = 4x,

6.17. V: z =12− y2, z = 0.

x2 + y2 = 42x, 6.19. V: z = x2 + y2 −16,

z = 0,z > 0.

x2 + y2 = 4x,

6.10. V: z =10− y2, z = 0.

x2 + y2 =82y,

6.12.V: z = x2 + y2 −64,

z≥ 0.

x2 + y2 = 3y,

6.14.V: x2 + y2 = 6 y,

z= x2 + y2 ,z = 0.

x2 + y2 = 22x,

6.16.V: z = x2 + y2 −4,

z≥ 0.

x2 + y2 =8x,

6.18.V: x2 + y2 =11x,

z= x2 + y2 ,z = 0.

x2 + y2 = 4 y,

6.20.V: z = 4 − x2

z= 0.

x2 + y2 = 4 y,					x2 + y2 = 4				y,
							2
6.21. V:x2 + y2 = 7y,					6.22. V:z = x2 + y2 −16,
					z = 0,z > 0.
z =	x2 + y2		,z = 0.
x2 + y2 + 2x = 0,					x2 + y2 = 9x,
6.23. V: z = 17 − y2,					6.24. V: x2 +	y2 =12x		,
4					z =	x2 + y2,		y = 0,
z = 0.					y > 0,z = 0.

x2 + y2 + 2				x = 0,
		2
6.25. V: z = x2 + y2 −4,
z = 0,z > 0.

Задача 7

Тело занимает в пространстве область T и имеет объемную плотность µ (x, y,z) . Найти массу тела.

	x2	+ y2 + z2	=1, y =	x	,

7.1.	T :			3

y = x3,x ≥ 0.

µ= x2 + y12 + z2 .

7.3.T :(x −1)2 + y2 + z2 =1.

µ = x2 + yx2 + z2 .

7.2. T: 1≤ x2 + y2 + z2 ≤ 2.

µ = x2 + y2 + z2

7.4. T : x2 + y2 + z2 =1, z2 = x2 + y2,z ≥ 0.

µ = 8z.

T :x2 + y2 + z2 = 9,

x2 + y2 + z2 = 2,

7.5.

7.6. T : z = x2 + y2,

z ≥ 0.

x ≥ 0, y ≥ 0.

µ =

30z

x2 + y2 + z2

x2 + y2

7.7.T :x2 + y2 + z2 = 2,

7.8. T : x2 + y2 + z2 = 2,

y = x, y = 0,x ≥ 0.

z2 = x2 + y2,z ≤ 0.

µ =

x2 + y2 + z2

µ = −2z.

7.9. T :(x −2)2 + y2 + z2 = 4.7.

7.10.

T :

+ y2 + z2 = 2,

z = −x2 − y2, y ≥ 0.

µ =

−15yz

x2 + y2 + z2

x2 + y2

x2 + y2 + z2 =16,

x2 + y2 + z2 = 4,

7.11. T : y = −

,x = 0, y ≥ 0.

7.12.

T : x2 = y2 + z2,x ≥ 0.

−x

µ =

µ = x.

x2 + y2 + z2

x2 + y2 + z2 = 2,

7.13. T :x2 +(y −1)2 + z2 =1.

7.14. T : z = −x2 − y2,

y = 0, y > 0.

µ =

15x

x2 + y2

+ z2

y2 + z2

x2 + y2 + z2 = 4,

7.15. T : y = −3x,

y = − x3 , y ≥ 0.

µ= 3z.

7.17.T :x2 + y2 + z2 = 6,

x2 = y2 + z2,x ≤ 0.

µ= −2x.

7.19.T :x2 + y2 + z2 = 6, y = x2 + z2.

µ= 3y.

7.21.

T :

+ y2

+ z2

= 2,

y2 = x2 + z2, y ≥ 0.

µ =

x2 + z2

7.23.

T :

+ y2

+ z2

=12,

y = −(x2 + z2).

µ = 4 y

. µ =

+ y

+ z

7.25.

T :

+ y2

+ z2

= 4,

y2 = x2 + z2, y ≤ 0.

T : x2 + (y +3)2 + z2 = 9.

7.16.µ =			1		.
7.16.µ =					.
		x2 + y2		+ z2
7.18.	T :		x2 + y2	+ z2 = 4,
7.18.	T :		y = −x, y = 0,x ≥ 0.
			y = −x, y = 0,x ≥ 0.

µ = x2 + y12 + z2 .

7.20. T : x2 + y2 +(z −3)2 = 3.

µ = x2 + yz2 + z2 .

7.22. T : x2 + y2 +(z +3)2 = 9.

µ = x2 + y12 + z2 .

7.24. T : x2 + y2 + z2 = 3, x ≥ 0, y ≥ 0,z ≥ 0.

µ = x2xyz+ z2 .

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Понятие криволинейного интеграла

Обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащей в плоскости является криволинейный интеграл. Интеграл имеет широкое применение в различных разделах математики.

Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные интегралы первого и второго рода.

В рамках рабочей программы данного курса рассмотрим

криволинейный интеграл второго рода.

Введем понятие криволинейного интеграла второго рода. Пусть на кривой АВ определены две ограниченные функции Р(х, у) и Q(x, у). Разобьем кривую АВ на п частей точками A = M0, M1, ..., Mi−1, Mi , ..., M n = B . Обозначим через ∆xi и

∆yi , проекции вектора Mi −1Mi на оси координат (рис. 18), на

каждой частичной дуге Mi−1Mi возьмем произвольную точку Mi* и составим интегральную суммудля функцииР(х, у)[Q(х,у)]:

n		n
*		*		(3.1)
∑P(Mi	)∆xi ∑Q(Mi		)∆yi .	(3.1)
i=1	i=1

Определение. Если интегральная сумма(3.1) при λ → 0

(λ = max {∆li}, ∆li − длина дугиMi−1Mi ) имеет предел, равный

1≤i≤n

I, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции Р(х, y)[Q (х, у)] по кривой АВ и

Рис. 18

метрическими уравнениями

Сумму

∫P(x, y)dx + ∫Q(x, y)dy

AB AB

называют общим криволинейным интегралом второго рода

и обозначают символом

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy .

Криволинейные интегралы второго рода, сводятся к определенным интегралам.

Пусть кривая АВ задана пара- x =ϕ(t), y =ψ(t), α ≤ t ≤ β, где

ϕ(t) и ψ(t) непрерывные вместе со своими производными

ϕ′(t) и ψ′(t) функции, причем точке А кривой соответствует

значение t =α , точке В — значение t = β, ϕ′2(t) +ψ′2(t) ≠ 0. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вдоль кривой АВ. Тогда справедливы следующие формулы:

∫	′
∫	P(x, y)dx = ∫P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ (t)dt;
AB	α
∫	β
	′		(3.2)
	Q(x, y)dy = ∫Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ (t)dt;
AB	α
	∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
β	AB
β
	′	′
= ∫{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ (t) + Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ (t)}dt,

сводящие криволинейные интегралы к определенным интегралам. Следовательно, криволинейный интеграл второго рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл.

Криволинейный интеграл второго рода зависит от направления движения вдоль кривойAB (от А к В или от В к A). Интеграл меняет знак при изменении направления обхода кривой:

∫P(x, y)dx = − ∫P(x, y)dx, ∫Q(x, y)dy = − ∫Q(x, y)dy.

AB BA AB BA

Поэтому, при вычислении криволинейных интегралов второго рода всегда учитывается направление интегрирования.

Если же L представляет собой замкнутую кривую, то есть если точка В совпадает с точкой A, тонаправление обхода замкнутого контура L называют положительным, еслипри движении вдоль контура область, лежащая внутри, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода называют отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L, проходимому в положительном направлении, обозначают

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

Рассмотримвычисление криволинейных интегралов вто-

рого рода. Как было показано, криволинейные интегралы второго рода вычисляют сведением их к оп ределенным интегралам по формулам (3.2). В частности, если кривая АВ задана уравнением вида y = y(x), a ≤ x ≤ b , где у(х) − непрерывно

дифференцируемая функция, то, принимая х за параметр (t=x), из формул (3.2) получаем

	b		b
∫ P(x, y)dx =∫		P[x, y(x)]dx, ∫	′
∫ P(x, y)dx =∫		P[x, y(x)]dx, ∫	Q(x,y)dy =∫Q[x,y(x)]y (x)dx,
AB	a	AB	a

∫		b	′
			′
	P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫{P[x, y(x)]+ Q[x, y(x)]y (x)}dx. (3.3)
AB		a
	Аналогичные формулы имеют место, если кривая АВ
задана уравнением вида х = х(у).
	Пример.	Вычислить интеграл ∫x2dx + xy dy ,		где АВ −
			AB	А соответ-
четверть окружности x = cos t,			y = sin t, 0 ≤ t ≤π / 2,	А соответ-
ствует t = 0, В соответствует t = π / 2 .
	Решение.	Имеем	x2 = cos2 t, dx = −sin t dt,
xy = cos t sin t, dy = cos t dt . По третьей из формул (3.2)					полу-
		π / 2
чаем	∫x2dx + xy dy = ∫(−cos2 t sin t + cos2 t sin t)dt = 0.
	AB	0
	Пример. Вычислить интеграл∫(x + y)dy, где L −				кон-
			L

тур прямоугольника, образованного прямыми х=0, у=0, x=1 и

у=l (рис. 19).

Решение. На рис. 19 положительное направление обхода контура L обозначено стрелками. Разбивая весь контур инте-

грирования на части, запишем: ∫= ∫ + ∫ + ∫ + ∫.

L AB BC CD DA

Легко заметить, что интегралы вдоль участков АВ и CD равны нулю, так как на них у является постоянным и, следовательно, dy = 0. Поэтому остается вычислить интегралы по участкам ВС и DA. По формуле, аналогичной первой из формул (3.2) [заменяя х на у и у(х) на х(у)], получаем

∫			1						y2	1			3
∫			∫						2				2
	(x + y)dy =				(1 + y)dy = y +						=				,
BC			0							0
∫				0				y2	0			1
∫		(x + y)dy =		∫		(0	+ y)dy =	2		= −		2		.
		(x + y)dy =				(0	+ y)dy =			= −				.
DA				1					1
Таким образом, окончательно имеем∫(x + y)dy =													3		−	1	=1.
Таким образом, окончательно имеем∫(x + y)dy =													2		−	2	=1.
							L

Пример. Вычислить интеграл ∫3x2ydx + (x3 +1)dy, где:

а) АВ — прямая у = х, соединяющая точки (0; 0) и (1;1);

б) АВ — парабола y = x2 , соединяющая те же точки;

в) АВ — ломаная, проходящая через точки (0; 0), (1; 0), (1;1) (рис. 20).

				Рис. 20
	Рис. 19

		третьей формуле (3.2) имеем:
	Решение. По
а) ∫3x2ydx + (x3 +1)dy = ∫1			(4x3 +1)dx = 2;
	AB	0

б)	∫3x2ydx + (x3 +1)dy = ∫1		(5x4 + 2x)dx = 2;
	AB	0
		1	1	1
в)	∫3x2ydx + (x3 +1)dy = ∫3x2 0dx + ∫(1 +1)dy = ∫2dy = 2.
	AB	0	0	0

Заметим, что взяв три различных пути, соединяющих одни и те же точки, мы получили три одинаковых результата. Это обстоятельство не является случайным. Причина его будет раскрыта в п. 3.3.

Пусть гладкая кривая АВ задана параметрическими уравнениями х= х(t), y=y(t), z=z(t), причем изменению t от α до β соответствует движение точки по кривой от А до В (не обязательно, чтобы α было меньше β). Тогда

∫P(x, y, z)dx =∫P(x(t), y(t),z(t))x′(t)dt.

AB α

Аналогичные формулы имеют место и для интегралов по координатам y и z.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл

∫2хуdx + y2dy + z2dz, где		АВ – одни виток винтовой линии
АВ
Х = cos t,	у =sin t, z = 2t от точки А(1,0,0) до точки В(1,0,4π).
Решение. Вдоль дуги АВ параметр t изменяется от 0 до
2π. Тогда,
	2π	(−2costsin2 t + sin2 tcost +8t2 )dt =
∫ 2хуdx + y2dy + z2dz = ∫
АВ	0
2π	(−cost sin2 t +8t2 )dt =(− 13sin3 t + 83t3)		2π = 643 π3.
= ∫
0			0

3.2. Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейными и двойными интегралами.

Рассмотрим эту формулу для замкнутой области, граница которой пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках (рис. 21). Для краткости будем называть такие области простыми. Предполагается, что контур, ограничивающий область, гладкий или кусочногладкий.

Рис. 21

Рис. 22

Теорема 1. Пусть G − некоторая простая замкнутая область, ограниченная контуром L, и пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими частными производными

∂P и ∂Q в данной области. Тогда имеет место формула

∂y ∂x

	∂Q		∂P		∫		(3.4)
	∂Q		∂P				(3.4)
∫∫	∂x	−	∂y			Pdx + Qdy,
		−		dx dy =		Pdx + Qdy,
G					L

называемая формулой Грина.

З а м е ч а н и е. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой областиG, которую можно разбить проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей (рис. 22).

Пример. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл∫(x − y)dx + (x + y)dy, гдеL − окружность

x2 + y2 = R2 .

	Решение. Функции (х, у)=х—у, Q(х, у)=х+y	и	∂P	= −1,
	Решение. Функции (х, у)=х—у, Q(х, у)=х+y	и	∂y	= −1,
			∂y
∂Q	=1 непрерывны в замкнутом круге x2 + y2	= R2.		Сле-
∂x

довательно, формула Грина применима к дан ному интегралу.
Имеем (	)	+ (	+	)	= [1	(.	1)]	=
		2			= 2 = 2

Заметим, что полученный результат легко проверить непосредственно вычислением данного интеграла.

3.3. Условия независимостикриволинейного интеграла от пути интегрирования

Как уже отмечалось, в некоторых случаях величина криволинейного интеграла ∫Pdx + Qdy не зависит от пути инте-

грирования, а зависит только от начальной и конечной точек А и В пути интегрирования. Выясним, при каких условиях такая независимость имеет место. В исследовании этого вопроса важную роль играет формула Грина.

Уточним, какие области будут рассматриваться далее.

Определение. Плоская область G называется односвязной, если каков бы ни был замкнутый контур L, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром часть плоскости целиком принадлежит области G.

Образно говоря, односвязность области означает, что область не имеет «дыр». Например, односвязными областями являются внутренность круга, эллипса, многоугольника и т. п. Простейшим примером неодносвязной области служит об-

ласть, заключенная между окружностями x2 + y2 =1 и

x2 + y2 = 3. В самом деле, окружность x2 + y2 = 2, лежащая в

этой области, содержит внутри себя точки, которые не принадлежат данной области, например, начало координат (0; 0).

Теорема 2. Пусть функции Р(х, у) и Q(х, у) определены и

непрерывны вместе со своими частными производными	∂P	и
	∂y

∂Q в некоторой замкнутой односвязной области G. Тогда сле-

∂x

дующие четыре условия эквивалентны, то естьвыполнение любого из них влечет за собой выполнение остальных трех:

1) для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в G, ∫Pdx + Qdy = 0;

2) для любых двух точек А и В области G значение интеграла ∫Pdx + Qdy не зависит от выбора пути интегрирова-

ния, целиком лежащего в G;

3) выражение Pdx + Qdy представляет собой полный

дифференциал некоторой функции, определенной в области G. Иными словами, существует такая функция F(х,у), определенная в G, что dF = Pdx + Qdy;

4) в области G всюду ∂∂Py = ∂∂Qx .

З а м е ч а н и е. Из эквивалентности условий 1) − 4) теоремы 2, в частности, следует, что условие 3) представляет

собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл не зависит от выбора пути интегрирования. Однако для приложений более удобным, необходимым и достаточным условием является условие 4).

Теорема 2 позволяет легко решать вопрос о том, зависит или не зависит криволинейный интеграл от выбора пути инте-

грирования. Так, например, ∫e ydx − ydy			в любой области за-
AB
висит от выбора пути, так как	∂P	= e y ≠	0 =	∂Q	.	Необходимо
	∂y
				∂x

обратить внимание на то, что все условия теоремы существенны. Рассмотрим, например, интеграл

I = ∫	− y		dx +	x	dy,
	x2	+ y2		x2 + y2
L

где L − окружность радиуса R с центром в начале координат. Имеем:

P = −

∂P

− x2 − y2 + 2y

y2 − x2

∂y =

x2 + y2

(x2 + y2)2

Q =

, ∂Q

+ y

− 2x

− x

x2 + y

(x2 + y2)2

∂x

Видим, что условие независимости интеграла от выбора пути формально выполнено, но, однако, интеграл по окружности L нулю не равен. Действительно, задав окружность уравнениями х = Rcost, y = Rsint, получим

2π	− R sin t(−R sin t) + R cos tR cos t	2π
I = ∫	R2 cos2 t + R2 sin2 t	dt = ∫dt = 2π.
0		0

На самом деле никакого противоречия с теоремой здесь нет. Просто не выполнено одно из условий теоремы: функции

Р и Q и их частные производные ∂P и ∂Q не определены в

∂y ∂x

точке (0;0), а круг, ограниченный окружностью L, с выброшенной точкой (0;0) уже не является односвязной областью (начало координат играет роль “дырки”).

3.4. Интегрирование полных дифференциалов

Из рассмотрения условий независимости криволинейного интеграла ∫Pdx + Qdy от выбора пути интегрирования

непосредственно вытекает решение вопроса об интегрировании полных дифференциалов и о нахождении функции по ее полному дифференциалу.

Было доказано, что если функции Р(х, у) и Q(x, у) и их

частные производные	∂P	и	∂Q	непрерывны взамкнутойобла-
сти G, то выражение	∂y		∂x
сти G, то выражение	Pdx + Qdy				(3.5)
	Pdx + Qdy				(3.5)

является полным дифференциалом некоторой функции в этой

области в том и только в том случае, когда		∂P		=		∂Q	. Далее мы
области в том и только в том случае, когда				=			. Далее мы
		∂y				∂x
показали, что если это равенство выполнено, то								условию
dF = Pdx + Qdy удовлетворяет функция
	(x;y)
F(x, y) = ∫ Pdx + Qdy =	∫Pdx + Qdy.							(3.6)
AB	(x0;y0)
Пусть теперь выражение (3.5) является полным дифферен-
			∂Ф					∂Ф
циалом некоторой функции Ф(х,	у). Тогда				= P,				= Q и
								∂y
			∂x					∂y

разность Ф(х, у) − F(х, у) величина постоянная. Следовательно,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022323.1 Кб2Учебное пособие 193.pdf
#
30.04.20222.97 Mб3Учебное пособие 1930.pdf
#
30.04.20222.97 Mб7Учебное пособие 1931.pdf
#
30.04.20222.99 Mб4Учебное пособие 1932.pdf
#
30.04.20222.99 Mб6Учебное пособие 1933.pdf
#
30.04.20223 Mб25Учебное пособие 1934.pdf
#
30.04.20223.01 Mб14Учебное пособие 1935.pdf
#
30.04.20223.03 Mб5Учебное пособие 1936.pdf
#
30.04.20223.04 Mб3Учебное пособие 1937.pdf
#
30.04.20223.04 Mб17Учебное пособие 1938.pdf
#
30.04.20223.04 Mб9Учебное пособие 1939.pdf