′ |
f |
′′ |
(n) |
(0) =1. По формуле (5.12) |
для функ- |
||||||||||
f (0) = |
(0) = ... = f |
|
|
|
|||||||||||
ции ex |
составим ряд Маклорена: |
xn |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 + |
|
x |
|
+ |
x2 |
+ |
... + |
+... . |
|
(5.14) |
|||
|
|
1! |
2! |
n! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем интервал сходимости ряда (5.14) |
|
|
|||||||||||||
|
|
R = |
|
lim |
|
an |
= lim |
n!(n +1) |
= ∞. |
|
|||||
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||||||
|
|
n→∞ an+1 |
n→∞ |
|
|
||||||||||
Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.
Легко доказывается, что функция ex есть сумма ряда
(5.14), так как lim Rn (x) = 0 при любом х. n→∞
Таким образом, при любом х имеет место разложение
|
|
ex =1 + |
x |
+ |
x2 |
|
|
+... + |
xn |
+... . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Разложение функции f (x) = sin x . Имеем: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
f |
′ |
|
|
|
+ |
π |
|
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|||||||
(x) = cos x = sin x |
|
2 |
, |
|
|
(x) |
= −sin x = sin x + |
2 |
,..., |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f |
|
|
|
|
π |
|
|
, |
|
|
откуда, |
полагая |
|
х = 0, |
|
получаем: |
|||||||||||||
(n)(x) = sin x + n |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
f |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′′ |
|
|
|
f |
(4) |
(0) = 0,... Соста- |
|||||||
f (0) = 0, f (0) =1, |
|
(0) = 0, f |
|
(0) = −1, |
|
||||||||||||||||||||||||
вим по формуле (5.12) для функции sin x ряд Маклорена: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
− |
|
x3 |
|
+ |
|
x5 |
− |
x7 |
|
+... + |
(−1)n−1 x2n−1 |
+... |
|||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
5! |
7! |
|
|
(2n −1)! |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Легко проверить, что полученный ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой и остаточный член стремится к нулю при любом х. Значит, функция sin x является суммой построенного ряда, то есть имеет место разложение
95
sin x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+... + |
(−1)n−1 x2n−1 |
+... . |
|
3! |
5! |
7! |
(2n −1)! |
||||||
|
|
|
|
|
Запишем разложение в ряд Маклорена других функций.
|
cos x =1 |
− |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
− |
x6 |
|
+... + (−1)n |
x2n |
|
|
+... . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
4! |
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|||||||||
ln(1 |
+ x) = x − |
x2 |
+ |
x3 |
− |
x4 |
+... + (−1) |
n xn+1 |
+... |
||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
n +1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Равенство справедливо при x <1, а также верно и для х= 1.
arctg x = x − |
x3 |
+ |
x5 |
−... + (−1) |
n |
x2n+1 |
|
+... |
3 |
5 |
|
2n +1 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Равенство справедливо при x <1, а также верно и для
x = ±1 .
Вместо ряда Маклорена можно рассмотреть более общий
ряд Тейлора по степеням (x − a), где |
a ≠ 0, то есть ряд вида |
|||||||
f (a)+ |
f ′(a) |
(x −a)+ |
f ′′(a) |
(x −a)2 |
+... + |
f (n)(a) |
(x −a)n +...(5.15) |
|
1! |
2! |
n! |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения π и е), находят приближенные значения определенных интегралов, которые или не выражаются через элементарные функции, или сложны для вы-
a
числений. Например, интеграл ∫sinx x dx не берется в элемен-
0 |
sin x |
|
тарных функциях, поскольку первообразная функции |
не |
|
|
x |
|
является элементарной. В то же время эта первообразная легко выражается в виде степенного ряда. Действительно, так как
sin = x − |
x3 |
+ |
x5 |
− |
x7 |
+..., то, умножая этот ряд на |
1 |
, получа- |
|
3! |
5! |
7! |
x |
||||||
|
|
|
|
|
96