центру эллипса и по величине равна расстоянию от точки (х;у) до центра эллипса (рис. 25).
Решение. По условию, F (x, y) = 
x2 + y2 ; координаты
силы F (x, y) таковы: Р = −х, Q = −y (знак “−” объясняется тем, что сила направлена к точке (0; 0)). По формуле (3.15) имеем
A = −
∫xdx + ydy, где L − эллипс x = a cos t, y = b sin t, 0≤t ≤ 2π .
L
|
a2 |
− b2 |
2π |
a2 − b2 |
|
2π |
|
|
Тогда, A = |
∫sin 2t dt = |
(−cos 2t) |
= 0. |
|||||
|
2 |
4 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Заметим, что из того, что интеграл оказался равным нулю, следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции.
Задачи для самостоятельного решения
|
Вычислить криволинейные интегралы: |
||||||||
1. |
∫ydl |
по параболе y 2 = 2x от точки (0, 0) до точки (2, 2). |
|||||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||
2. |
∫xdl |
по параболе y = x2 от точки (2, 4) до точки (1, 1). |
|||||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||
3. |
∫xdl по отрезку прямой от точки (0, 0) до точки (1, 2). |
||||||||
|
AB |
|
dl |
|
|
|
|
||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
по отрезку прямой y = 1 x − 2 от точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|
|
|||||
|
AB |
x |
+ y |
|
|
|
2 |
||
(0,−2) |
до точки (4, 0). |
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|||||
5. |
|
x2 + y2 |
dl |
по кривой |
|||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||
x = a(cost + t sin t), y = a(sint −t cost), 0 ≤ t ≤ 2π .
65
6. ∫
ydl по кривой x = a(t −sin t), y = a(1 − cos t), 0 ≤ t ≤ 2π.
AB
7.
∫(2x + y)dl, где L – контур треугольника ABO с вершина-
L
миА(1, 0), В(0,2), О(0, 0).
8. ∫(x + y)dx, где:1) AB – прямая соединяющая точки (0,0) и (2,2);
AB
2)AB – парабола y = x2 / 2, соединяющая точки (0,0) и (2, 2);
3)AB – ломаная, проходящая через точки (0, 0), (2, 0), (2, 2).
9. ∫[(x + y)dx − xdy] где:
AB
1)AВ– прямая, соединяющая точки (0, 0) и (4, 2);
2)АВ – ломаная, проходящая через точки (0, 0), (2, 0), (4, 2).
10. Решить задачу 9 для интеграла ∫ydx + xdy. Почему здесь
АВ
величина интеграла не зависит от пути интегрирования?
11. 
∫xdy, где L – контур треугольника, образованного прямы-
L
ми y = x, x = 2, y = 0 (интегрирование вести в положительном направлении).
12.
∫(x2 − y)dx, где L – контур прямоугольника, образованного
L
прямымиx = 0, y = 0, x =1, y = 2 (интегрирование вести в положительном направлении).
13. ∫xydx по дуге синусоиды y = sin x от x = π до x = 0.
AB
66
14. |
∫xdy − ydx |
по кривой y = x3 от точки (0,0) до точки (2,8). |
||||
|
AB |
|
|
|||
15. |
∫ |
|
|
|
|
|
xdx + |
ydy по кривой y = x2 от точки (0,0) до точки |
|||||
AB
(1,1).
16. ∫x2dx + y2dy по кривойy = 
x от точки (0,0) до точки (1,1).
AB
17. ∫(x2 + y2 )dx + xydy покривой y = ex отточки(0,1)доточки(1,e).
AB
18. ∫(x3 − y2 )dx + xydy покривой y = a x отточки(0,1)доточки(1,a).
AB
Вычислить криволинейный интегралы, взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра:
19. |
∫xydx + y2dy по кривой x =t 2, y = t (1 ≤ t ≤ 2). |
|
||||
|
AB |
|
|
|
|
|
20. |
∫x2 ydx + y2xdy по кривой x = t, y = t3 (0 ≤ t ≤1). |
|||||
|
AB |
|
|
|
|
|
21. |
∫(x + y)dx + (x − y)dy |
по |
окружности |
x = |
||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
y = R sin t 0 ≤ t ≤ |
. |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
22. |
∫ |
y2dx + xydy |
по эллипсу x |
|
0 ≤ t |
|
|
||||||
|
= a cos t, y = bsin t, |
|||||
AB
Rcos t,
≤π .
2
23. |
∫ |
ydx − xdy |
по астроидеx = a cos3 t, |
|
0 ≤ t ≤ |
π |
|
y = a sin3 t |
2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
67
24. ∫y2dx + x2dy по первой арке циклоиды x = a(t −sin t),
AB
y = a(1 − cos t) (a > 0).
С помощью формулы Грина вычислить криволинейные интегралы:
25.
∫(x − y)dx + (x + y)dy, где L – окружность x2 + y2 = R2.
|
L |
|
|
|
|
|
|
26. |
∫(x + y)dx −(x − y)dy, где L – эллипс |
x2 |
|
+ |
y2 |
=1. |
|
a2 |
b2 |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
27. |
∫y2dx +(x + y)2dy, |
по контуру треугольника ABC с верши- |
|||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
нами А (а,0), В (а,а), |
С(0,а). |
|
|
|
|
|
|
28. |
∫(x + y)2dx − (x2 + y2 )dy по контуру треугольника ABC с |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
вершинами A (1,1), B (3,2) и C (2,5). |
|
|
|
|
|
||
29. |
∫(y − x2 )dx + (x + y2 )dy, где контур L ограничивает круго- |
||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
вой сектор радиуса R |
|
π |
|
||||
с углом ϕ 0 ≤ ϕ ≤ |
2 |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
30. |
∫e−x2+y2 (cos 2xydx +sin 2xydy), где |
L |
|
|
– |
окружность |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = R2.
31. Вычислить работу силы F (x;y) при перемещении материаль-
ной точки по эллипсу в положительном направлении, если сила в каждой точке (x,y) эллипса направлена к центру эллипса и по величине равна расстоянию от точки (x, y) до центра эллипса.
32. Поле образованно силой F = {P,Q}, где Р = х – у, Q = х. Построить силу F в каждой вершине квадрата со сторонами
68