Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1934.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

ем	sin x	=1 −	x2	+	x4	−	x6	+...,	причем последний ряд сходит-
	x		3!		5!		7!

ся при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а, имеем

a	sin x		a3		a5		a7
∫	x	dx = a −		+		−		+...
			3! 3		5! 5		7! 7
0

С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить данный интеграл.

Степенные ряды используются и в приближенных методах решений дифференциальных уравнений.

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1-10 для каждого ряда: 1) найти сумму n первых членов ряда (sn ); 2) доказать сходимость ряда, пользуясь

непосредственно определением сходимости; 3) найти сумму ряда (s ).

1.		1	+		1		+ +				1			+ ,
1.			+		2 3		+ +				n (n +1)			+ ,
	1 2				2 3						n (n +1)
2.		1	+		1		+ +						1		+ ,
	1 3			3 5						(2n −1) (2n +1)
3.		1	+		1		+ +						1		+ ,
3.	1 4		+		4 7		+ +					(3n − 2) (3n +1)			+ ,
	1 4				4 7							(3n − 2) (3n +1)
4.	1		+		1		+ +			1				+ ,
4.			+		2 5		+ +					n (n +3)		+ ,
	1 4				2 5							n (n +3)
5.	1		+		1		+ +						1		+ ,
5.			+		3 9		+ +				(2n −1) (2n +5)				+ ,
	1 7				3 9						(2n −1) (2n +5)
6.		1			+		1		+ +					1		+ ,
6.	1 2 3				+	2 3		4	+ +				n(n +1) (n		+ 2)	+ ,
	1 2 3					2 3		4					n(n +1) (n		+ 2)

7.	5	+	13	+ +		3n + 2n		+ ,
7.	6	+	36	+ +			6n	+ ,
	6		36				6n
8.	3	+	5	+ +			2n +1		+ ,
8.	4	+	36	+ +		n2(n +1)2			+ ,
	4		36			n2(n +1)2
9.	1	+	2		+ +			1			+ ,
9.	9	+	225		+ +		(2n −1)2(2n +1)2				+ ,
	9		225				(2n −1)2(2n +1)2
10. arctg				1	+ arctg 1 + + arctg					1	+ .
10. arctg				2	+ arctg 1 + + arctg					2n2	+ .
				2			8			2n2

Исследовать сходимость числовых рядов.

∞

11.

∑

12. ∑

,13.

∑

(2n − 3)2

n 1

∞

(n +1)!

∞

4n − 3

∞

3n +1

14.

∑

15.

∑

,16. ∑

n 3n

n 2n

n=1

n 1

∞

1 n

∞

∞ n3

17.

∑

arcsin

18. ∑

,19. ∑

n=1

n=2 n ln n

n=12n

∞

2n −

n / 2

∞

n+1

20.

∑

21. ∑

,22. ∑

n=1

3n +

n=2 n3

ln n

n=1

∞

n +1

23.

∑

24. ∑

,25.

∑

n=1(2n)!

n=1 4n

n=1 ln n (1 + n)

∞

1 n +

1 n2

∞

26.

∑

,27. ∑

,28. ∑

3n n!

(n + 2)3

n=1

	∞ 5n		∞	n	n
	∞ 5n		∞	n
29.	∑ n!	,30.	∑		.
29.		,30.		2n +1	.
				2n +1
	n=1		n=1

Выяснить какие из заданных рядов сходятся абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся.

∞

31.∑(−1)n

, 32.∑(−1)n+1 1

33.∑(−1)n

(2n −1)

ln n

n=1

n 2

n=1

∞

34.∑(−1)n

35.∑(−1)n+1 n +1

36.∑(−

1)n

n=1

∞

n+1 n3

∞

n+1 2n2

37.∑(−1)

38.∑(−1)

n=1

Найти область сходимости функциональных рядов.

39. 1 + x + + xn + , 40.ln x + ln2 x + + lnn x + ,

41.x + x4 + + xn2

+ ,

42.x +

+ +

+ ,

43.x

+ +

+ ,

44.

+ ,

+ x

+ xn

1 + x2

45.2x + 6x2 + + n(n +1)xn + ,

46.

+ +

+ ,

47.

+ +

+ .

1+ x4

+ n

1+ x

Найти интервал сходимости степенного ряда.

∞

48. ∑

xn , 49. ∑

xn ,

50.

∑

xn ,

−1

n(n +1)

3n − 2

=1 3

n=1

∞

51. ∑

xn ,

52. ∑

xn , 53. ∑

xn ,

n=1 nn

n=1

∞

54. ∑

+1 xn , 55. ∑

xn ,

56.

∑

xn ,

n=1

(2n −1) 3n

n=1 n n

∞

57. ∑

xn , 58. ∑

xn , 59. ∑

n +1

(n +1)n

n=1

n=1 n

n=1

∞

n + 2

∞

60. ∑ n

xn ,

61. ∑

xn , 62. ∑

xn ,

n=1

(n + 3) 3n

n=1 (n +1)n

∞

10n

∞

(n +1)2

xn ,

∞

63. ∑

xn , 64. ∑

65. ∑

xn ,

n=1 2n

n=1

2n +1

∞

xn .

66. ∑

n=1 5

Пользуясь соответствующими рядами, вычислить.

67.cos100

с точностью 0.0001.

68.sin10

с точностью 0.0001.

69.sin180

с точностью 0.0001. 70.sin

с точностью 0.0001.

71.arctg 1

с точностью

0.0001.

72.ln 5

точностью 0.001.

73.arcsin1

с точностью

0.0001.

74.

с точностью

0.0001.

75.cos1 с точностью 0.00001.

Пользуясь разложением функций в ряд Тейлора, вычислить пределы.

100

76.	lim	x −arctg x	, 77.	lim	1 −cos x	, 78.	lim sin x −arctg x		,
	x→0	x3		x→0 ex −1 − x			x→0	x3

79. lim

x + ln(

1 + x2

− x)

80. lim

2(tgx −sin x)− x2

x→0

81. lim

ln(1 + x + x2)+ ln(1 − x + x2)

, 82. lim

−

ctg x

x(ex

−1)

x→0

x→0 x2

2+ cos x

83. lim

−ctg

x .

84. lim

−

x→0 x2

x→0 x3 sin x

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001,

разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

	0.1		e	−x						0.5								1			x		2
85.	∫		e		dx , 86.					∫	1 − cos xdx , 87.∫ cos										x					dx ,
	0.01 x									0		x2						0				2
	1									1	arctg xdx , 90.							0.5
88.	∫	sin x2dx , 89. ∫									arctg xdx , 90.							∫	1 + x3dx ,
	0.5			x3						0.5		x						0
	0.25										0.5 x −arctg x								0.5								1
											0.5 x −arctg x																1
91.	∫ln(1 +						x)dx , 92. ∫										dx , 93. ∫												dx ,
91.	∫ln(1 +						x)dx , 92. ∫					x		2			dx , 93. ∫							x			4		dx ,
	0										0	x							0					x				+1
	0.25									0.1 e−x −1									1
94.	∫arctg					x		dx ,		95.	∫					dx		, 96.∫					x		sin x dx ,
94.	∫arctg					x		dx ,		95.	∫	x				dx		, 96.∫					x		sin x dx ,
	0										0								0
	0.5	ln(1+ x)									1							1		sin x
97.	∫								dx , 98.∫ cos 3						dx , 99. ∫										dx ,
													x
		x											x							x
	0										0							0

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022323.1 Кб2Учебное пособие 193.pdf
#
30.04.20222.97 Mб3Учебное пособие 1930.pdf
#
30.04.20222.97 Mб7Учебное пособие 1931.pdf
#
30.04.20222.99 Mб4Учебное пособие 1932.pdf
#
30.04.20222.99 Mб6Учебное пособие 1933.pdf
#
30.04.20223 Mб25Учебное пособие 1934.pdf
#
30.04.20223.01 Mб14Учебное пособие 1935.pdf
#
30.04.20223.03 Mб5Учебное пособие 1936.pdf
#
30.04.20223.04 Mб3Учебное пособие 1937.pdf
#
30.04.20223.04 Mб17Учебное пособие 1938.pdf
#
30.04.20223.04 Mб9Учебное пособие 1939.pdf