5.4. Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков.

Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

n=1

где числа a1, a2, a3, , an , могут быть как положительны-

ми, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (5.6):

n =1

Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимости.

Теорема9. Если ряд(5.7)сходится, то сходитсяи ряд(5.6).

Пример. Ряд 1 − 212 − 312 + 412 + 512 − 612 − 712 +

сходится, так как сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

1 + 212 + 312 + 412 + 512 + 612 + 712 + .

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

88

Так, например, ряд ∑∞ (−1)n+1 1 согласно признаку Лейбница

n=1 n

∞

сходится, а ряд ∑ 1n составленный из абсолютных величин

n=1

его членов, расходится (гармонический ряд).

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на

абсолютно и условно сходящиеся.

К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся.

К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ря-

ды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Пример. Ряд 1 − 12 + 14 − 18 + 161 − 321 + абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин

1 + 12 + 14 + 18 + 161 + 321 + , также сходится. (Оба ряда − геометрические прогрессии со знаменателями, соответственно

равными − 12 и 12 ).

Пример. Ряд 1 − 12 + 13 − 14 + условно сходящийся,

так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится.

1 + 12 + 13 + 14 +

Для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме положительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов.

89

5.5. Степенные ряды

Ряд вида

называется степенным рядом.

Числа a0, a1, a2, a3 , an , называются коэффициен-

тами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (5.8) сходится, называется областью его сходимости. Любой степенной ряд сходится при x = 0.

Для определения сходимости степенного ряда используют теорему Абеля.

Теорема 10 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд (5.8) сходится при x = x0(x0 ≠ 0), то он сходится, и притом абсо-

лютно, для всех х, удовлетворяющих условию x < x0 ;

2) если ряд (5.8) расходится приx = x1 , то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию x > x1 .

Теорема Абеля утверждает, что если x0 −точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (− x0 , x0 ) (рис. 30, а), этот ряд сходится абсолютно, а

90

такое, что ряд абсолютно сходится при x < R и расходится при x > R .

Интервал (−R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов может охватывать всю числовую прямую (в этом случае пишут R = ∞), а у других вырождается в одну точку (R = 0). Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При x = ±R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда. Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Следовательно, по теореме 12 данный ряд сходится на интервале(−1, 1). Исследуем поведение ряда на концах интер-

вала сходимости, то есть в точках x = ±1 . При x =1 получаем

рый сходится в силу признака Лейбница. Таким образом, дан-

ный ряд сходится в любой точке полуинтервала [−1, 1) и расходится вне его.

91

∞

Пример. Ряд ∑n!xn расходится на всей числовой пря-

n=1

мой, кроме точки х = 0, так как его радиус сходимости

интервал сходимости которого (−R, R). В этом случае говорят, что на интервале (−R, R) функция f (x) разлагается в степенной

ряд (или ряд по степеням х).

Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов.

Теорема 13. Если функция f (x) на интервале (−R, R)

разлагается в степенной ряд (5.9), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная f ′(x) может быть

найдена почленным дифференцированием ряда (5.9), то есть

f′(x) = (a0 + a1x + a2x2 + + an xn + )′ =

=a1 + 2a2x +3a3x2 + + nan xn−1 +

Аналогично могут быть вычислены производные любого

порядка функции f (x) . При этом соответствующие ряды

имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (5.9).

Теорема 14. Если функция f (x) на интервале (− R, R)

разлагается в степенной ряд (5.9), то она интегрируема в интервале (− R, R) и интеграл от нее может быть вычислен

92

В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (5.9).

Сформулированные теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов имеют важное значение. Далее они неоднократно используются.

Отметим, что в ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:

∞

a0 + a1(x − a)+ + an (x − a)n + = ∑an (x − a)n . (5.10)

n=0

Ряд вида (5.10) приводится к виду (5.9) заменой переменной x − a = t .

Если функция f (x) является суммой ряда (5.10), то в этом случае говорят, что функция f (x) разлагается в ряд по степеням (x − a).

93

5.6. Разложение функций в степенные ряды

Разложение функции в степенной ряд единственно.

Теорема 15. Если функция f (x) на интервале (− R, R) разлагается в степенной ряд

Ряд(5.12)называетсярядом Маклоренадля функции f (x) .

94