Ф(x, y) = F(x, y) + C, |
(3.7) |
где С − некоторая постоянная. Полагая x = x0, y = y0 , из (3.6)
получаемF(x0, y0) = 0, а |
из (3.7) − значение постоянной |
C :C = Ф(x0, y0). Теперь |
(3.7) можно записать в виде |
F(x, y) = Ф(x, y)−Ф(x0, y0), а равенство (3.6) − в виде
(x;y)
∫Pdx +Qdy = Ф(x, y) −Ф(x0, y0).
(x0;y0)
Если, наконец, положить x = x1, y = y1, то получим формулу
(x1;y1)
∫Pdx + Qdy = Ф(x1, y1) −Ф(x0, y0) = Ф(x, y)((xx10;;yy10)). (3.8)
(x0;y0)
Формула (3.8) аналогична формуле Ньютона-Лейбница, но справедлива только при условии независимости криволинейного интеграла от выбора пути интегрирования.
Используя полученные результаты, теперь можно указать способ восстановления функции F(х, у), полный дифференциал которой есть заданное выражение (3.5).
Формула
(x;y)
F(x, y) = ∫Pdx + Qdy + C, |
(3.9) |
|
|
(x0;y0) |
|
где (x0, y0) − фиксированная точка, а С − произвольная по-
стоянная дает возможность определить все функции, имеющие подынтегральное выражение своим полным дифференциалом.
Для отыскания F (x, у) по формуле (3.9) достаточно, выбрав любую точку (x0, y0)в области G, вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (x0, y0) и (x, y) . Так как в формуле (3.9) интеграл не зависит
59
от выбора пути, то удобно, например, за путь интегрирования взять ломаную, звенья которой параллельны осям координат (рис. 23). Тогда
(x;y) |
(x;y0) |
(x;y) |
∫Pdx + Qdy = |
∫Pdx + Qdy + |
∫Pdx + Qdy. |
(x0;y0) |
(x0;y0) |
(x;y0) |
Так как y = y0 и dy=0 на участке от (x0, y0) до (x, y0),
adx = 0 на участке от (x, y0) |
до (x, y), то равенство (3.9) при- |
|
y |
нимает вид F(x, y) = ∫x P(x, y0)dx + ∫Q(x, y)dy + C, где пер- |
|
x0 |
y0 |
вый определенный интеграл вычисляется при постоянном у, равном у0, а второй − при постоянном х.
|
Рис. 23 |
Проверить, |
|
Рис. 24 |
|
|
Пример. |
является |
|
|
|
|
ли выражение |
||||
(x2 + 2xy − y2)dx + (x2 − 2xy − y2)dy полным дифференциалом
некоторой функции F(х, у), и, если это так, найти F(х, у). Решение. В данном выражении функции
Р(х, у) = x2 +2xy − y2 , Q(х, у) = x2 −2xy − y2 непрерывны вме-
сте с частными производными |
∂P |
= 2x −2y, |
∂Q |
= 2x −2y, |
|
∂y |
∂x |
||||
|
|
|
60
которые равны между собой. Следовательно, данное выражение является полным дифференциалом некоторой функции F(х, у). Для отыскания функции F(х, у) воспользуемся формулой (3.6), где A(x0; y0) − некоторая фиксированная точка, а
В(х; у) − переменная точка.
Вданном случае за точку A(x0; y0) удобно взять точку
(0;0). |
Учитывая, |
что |
криволинейный |
интеграл |
(x;y) |
|
|
|
|
∫ (x2 + 2xy − y2)dx +(x2 −2xy − y2)dy не зависит |
от пути |
|||
(0;0) |
|
|
|
|
интегрирования, выберем путь интегрирования от точки (0;0) до точки (х;у) в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат. Для этого достаточно взять точку (х;0)[или точку (0;у)] (рис. 24).
Тогда одно звено ломаной будет лежать на оси координат. Имеем
|
(x;y) |
|
|
|
|
|
|
F(x,y) = ∫ (x2 +2xy − y2)dx +(x2 −2xy − y2)dy +C = |
|||||
|
(0;0) |
|
|
|
|
|
x |
y |
x3 |
y3 |
|||
= ∫x2dx + ∫(x2 − 2xy − y2)dy + C = |
||||||
|
+ x2y − xy2 − |
|
+ C, |
|||
3 |
3 |
|||||
00
где С − произвольная постоянная.
Практически при отыскании функции по ее полному дифференциалу удобно поступать следующим образом. Если
|
∂F |
= P, |
∂F |
= Q, то, интегрируя первое из этих равенств по х, |
|
|
∂x |
∂y |
|||
|
|
|
|
||
получаем |
F(x, y) = ∫Pdx + f1(y), |
|
|||
|
|
|
|
(3.10) |
|
а интегрируя второе равенство по у, имеем |
|
||||
61
|
F (x, y) = ∫Qdy + f2(x), |
(3.11) |
|
|
|
где f1(y) |
и f2(y) − произвольные функции. Если подобрать |
|
функции |
f1(y) и f2(y) так, чтобы правые части равенств (3.10) |
|
и (3.11) совпали, то полученная таким образом функция F(х,у) и является функцией, полный дифференциал которой совпадает с выражением Pdx+Qdy.
Так, |
например, |
пусть dF = (2xy +1)dx + (x2 + 3y2)dy. |
||||||
Интегрируя коэффициент при dx по х, получаем |
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2xy +1)dx = x2y + x + f (y); |
|
|
(3.12) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
интегрируя коэффициент при dy по у, имеем |
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 3y2)dy = yx2 + y3 + f2(x). |
|
|
(3.13) |
||||
Правые части равенств (3.12) и (3.13) совпадают, если |
||||||||
положить |
f (y) = y3 + C, f |
2 |
(x) = x + C. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
F(x, y) = yx2 + y3 + x + C. |
|
|
|
|
|||
Пример. Вычислить криволинейный интеграл |
|
|
|
|||||
|
|
(2;3) |
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ydx + xdy. |
|
|
|
|
|
|
|
(−1;2) |
|
|
|
|
||
Решение. |
В данном случае функции P = y, Q = x, |
∂P |
|
∂Q |
||||
|
=1, |
|
=1 |
|||||
|
∂x |
|||||||
∂y |
||||||||
непрерывны и частные производные равны между собой. Значит, выражение ydx + xdy является полным дифференциалом
dF(x, y)и данный интеграл не зависит от пути интегрирова-
ния. По формулам (3.10) и (3.11) находим F(x,y)=xy, и по формуле (3.8) получаем
62
(2;3)
∫ ydx + xdy = xy (2;(−1;3)2) = 2 3−(−1) 2 = 6+ 2 = 8.
(−1;2)
Заметим, что данный интеграл можно вычислить и непосредственно, если, например, взять в качестве пути интегриро-
вания ломаную, соединяющую точки (−1;2), (2;2) и (2;3), звенья которой параллельны осям координат.
3.5. Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода
1. Вычисление площади с помощью формулы Грина.
Пусть G − некоторая область с границей L и s− площадь этой
области. Известно, |
что двойной интеграл |
∫∫f (x, y)dxdy при |
|
площадь области G. |
G |
f (x, y) ≡1 выражает |
Поэтому, если в |
формуле Грина подобрать функции Р(х,у) и Q(x,y) таким обра-
зом, чтобы |
∂Q |
− |
∂P |
≡1, |
то площадь s областиG определяется |
|||||
∂x |
|
|||||||||
формулой |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
s = ∫∫dxdy = ∫Pdx + Qdy. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
G |
L |
∂Q |
|
∂P |
|
|
Положим Q(x, у) = х и Р(x, у) = 0; тогда |
− |
=1 , |
||||||||
∂x |
∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s = ∫xdy. Полагая Р(х,у) =−у и Q(х,y) = 0, |
аналогично нахо- |
|
L |
|
|
дим s = −∫ydx, а при Р(х, у)= −у/2, Q(х, у) =х/2 имеем |
||
L |
|
|
s = 12 |
∫xdy − ydx. |
(3.14) |
|
L |
|
63
Таким образом, получены три формулы для вычисления площадей плоских фигур, ограниченных контуром L.
Пример.Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом. Решение. Вычислим, например, площадь по формуле
(3.14). Используя параметрические уравнения эллипса x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, имеем:dx = −a sin t dt;
dy = b cos t dt, и по формуле (3.14) получаем
s = 12 |
∫xdy − ydx = |
|
2π |
L |
2π |
|
||
= 12 ∫(a cos t b cos t + b sin t a sin t)dt = ab2 |
∫dt =πab. |
|
0 |
|
0 |
2. Работа силы. Пусть материальная точка под действи-
ем силы F перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС в направлении от В к С. Си-
ла F предполагается переменной, зависящей от положения точки на кривой ВС. Вычислим
работу силы |
|
при |
перемеще- |
|
F |
|
|||
нии точки из В в С. Эта работа |
|
|||
силы определяется по формуле |
|
|||
A = ∫Pdx + Qdy, |
(3.15), |
|
||
Рис. 25 |
||||
BC |
|
|
||
|
|
|||
где Р и Q −координаты силы F .
В пространстве решение задачи сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода по пространственной
кривой по формуле A = ∫Pdx + Qdy + Rdz.
BC
Пример. Вычислить работу силы F (x, y) при перемеще-
нии материальной точки по эллипсу в положительном направлении, если сила в каждой точке (х; у) эллипса направлена к
64