x = ±a, и y = ±a и вычислить работу при перемещении материальной точки по контуру квадрата.

33. Поле образованно силой F = {P,Q}, гдеP = x + y, Q = 2x.

териальной точки по окружности.

34.Вычислите криволинейные интегралы от векторного поля F по кривой С

35. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный

36. Проверить, что интеграл ∫(6xy −5y)dx + (3x2 +5x)dy равен

C

нулю. Подтвердить это вычислениями по замкнутому контуру, ограниченномулиниями y = 0, x = 3, y = x .

Ответы

1.1/ 3(55 −1). 2.1/12(1717 −55). 3.3/ 3. 4. ln 3 52+ 7.

69

4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

4.1. Понятие поверхностного интеграла

Интегралы от функций, заданных на поверхности, называют поверхностными интегралами.

Различают поверхностные интегралы первого и второго рода. Прежде, чем приступить к рассмотрению поверхностного

интеграла, введем понятие стороны поверхности.

Пусть произвольная точка М лежит на гладкой поверхности S. Проведем через нее нормаль к поверхности (вектор n ). Будем перемещать точку М по замкнутому контуру поверхности S, при этом вектор нормали должен оставаться перпендикулярным к поверхности, однако направление его будет меняться. В начальное положение точка М вернется либо с тем же направлением нормали, либо с противоположным.

Если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не пересекающему ее границы, при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности, то поверхность называется двусторонней.

Примером двусторонней поверхности служит любая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), где f (x, y),

70

fx′(x, y)и f y′(x, y)− функции, непрерывные в некоторой обла-

сти G плоскости Оху.

Если же на поверхности S существует замкнутый контур, при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное, то поверхность называется односторонней.

Будем рассматривать только двусторонние поверхности. Для двусторонней поверхности совокупность всех ее точек с выбранным в них направлением нормали, изменяющимся непрерывно при переходе от точки к точке, называется стороной поверхности, а выбор определенной ее стороны − ориентацией поверхности. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой.

Введем понятие поверхностного интеграла второго рода. Пусть S − гладкая поверхность, заданная уравнением z = f (x, y), и R(x, y, z) −ограниченная функция, определенная

в точках поверхности S. Выберем одну из двух сторон поверхности, то есть одно из двух возможных направлений нормали в точках поверхности. Если нормали составляют острые углы с осью Оz, то будем говорить, что выбрана верхняя сторона поверхности z = f(x, у), если тупые углы, то нижняя сторона поверхности. Разобьем поверхность S произвольно на п частей и обозначим через Gi проекцию i-й части поверхности на плос-

кость Оху (рис. 26). Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку Mi (ξi ;ηi ;ςi ), составим сумму

i=1

где ∆si , − площадь Gi , взятая со знаком плюс, если выбрана

верхняя сторона поверхности S, и со знаком минус, если в ы- брана нижняя сторона поверхности S. Сумма (4.1) называется

71

интегральной суммой для функцииR(M ) = R(x, y, z). Обозна-

чим через λ наибольший из диаметров частей поверхностиS.

Определение. Если интегральная сумма (4.1) приλ → 0 имеет предел, равный I, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функцииR(x, y, z) по

выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов:

I = ∫∫R(M )dx dy = ∫∫R(x, y, z)dx dy.

S S

В этом случае функция R(x, y, z) называется интегриру-

емой по поверхности S по переменным х и у.

Аналогично определяется поверхностный интеграл второго рода по выбранной стороне поверхности S по переменным у и z(z и х) от функции Р(х, у,z) (Q(x, у,z)), которая определена на поверхности S:

∫∫P(x, y, z)dy dz = ∫∫Q(x, y, z)dz dx .

SS

Сумму

∫∫P(x, y, z)dy dz + ∫∫Q(x, y, z)dz dx + ∫∫R(x, y, z)dx dy

S S S

называют общим поверхностным интегралом второго рода и

обозначают символом

S

Стоит отметить, что при изменении стороны поверхности (переориентации) поверхностныйинтеграл второго родаменяетзнак.

72

4.2. Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к вычислению двойных интегралов.

Пусть ориентированная (выберем верхнюю сторону) гладкая поверхность S задана уравнением z = f (x, y), где

функция f (x, y)определена в замкнутой области G. Область Gявляется проекцией поверхности S на плоскость Оху, а R(x, y, z)− непрерывная функция на поверхностиS.

Формула, выражающая поверхностный интеграл второго рода по переменным х и у через двойной, имеет вид

Если выбрать нижнюю сторону поверхности, то перед интегралом в правой части(4.3)появится знак минус. Аналогично

x = f (y, z)и y = f (x, z), а G1 и G2 − проекции поверхности S соответственно на плоскости Оуz и Охz.

Для вычисления интеграла общего вида (4.2) используют

те же формулы (4.3) − (4.5), если поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости.

73

Пример. Вычислить интеграл ∫∫(y2 + z2)dx dy,

S

Решение. Проекцией G данной поверхности на плоскость

74

где S − верхняя сторона части плоскости x + z −1 = 0, отсеченная плоскостями y = 0, y = 4 и лежа-

щая в первом октанте(рис.28). Решение. По определению,

Рис. 28

∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy =

S

= ∫∫x(y, z)dydz + ∫∫ydzdx + ∫∫z(x, y)dxdy.

Следовательно, ∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy = 2 + 0 + 2 = 4.

S

4.3. Формула Остроградского

Поверхностный интеграл по замкнутой поверхности и тройной интеграл по пространственной области, ограниченной этой поверхностью связаны между собой. Эту связь устанавливаетформула Остроградского.

Теорема 3. Пусть V − простая замкнутая область, ограниченная поверхностью S и пусть функции Р(х,у,z), Q(х,у,z) и

75

R(х,у,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в данной области. Тогда имеет место следующая формула:

называемая формулой Остроградского.

З а м е ч а н и е. Формула Остроградского верна для любой замкнутой пространственной области V, которую можно разбить на конечное число простых областей.

С помощью формулы Остроградского удобно вычислять поверхностные интегралы по замкнутым поверхностям.

Пример. Вычислить интеграл∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy,

S

где S− внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями x + y + z =1 , x = 0, y= 0, z= 0.

Решение. Применяя формулу Остроградского, имеем

∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫(1 +1 +1)dxdydz = 3∫∫∫dxdydz =

Пример. Вычислить интеграл

∫∫x3dydz + y3dzdx + z3dxdy,

S

76

где S − внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2.

Решение. Используя формулу Остроградского, получаем

∫∫x3dydz + y3dzdx + z3dxdy = 3∫∫∫(x2 + y2 + z2)dxdydz,

Из формулы Остроградского получается выражение для объема области в виде поверхностного интеграла по замкнутой

4.4. Формула Стокса

Формула Стокса устанавливает связь между поверхностным и криволинейным интегралами.

Пусть S − поверхность, заданная уравнением z = z(х, у),

77

нюю сторону поверхности S (рис. 29). Тогда при сделанных предположениях справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция Р(х, у, z) непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место следующая формула:

где cos β, cosγ − направляющие косинусы нормали к поверхности

S,а контурL пробегается в положительном направлении.

Аналогично доказывается при соответствующих условиях справедливость следующих двух формул:

Складывая равенства (4.7), (4.8), (4.9), получаем формулу

которая называется формулой Стокса.

С помощью формулы, связывающей поверхностные интегралы (4.8), формулу Стокса можно переписать в следующем виде:

∫Pdx + Qdy + Rdz =

L

Формула Стокса переходит в формулу Грина в случае,

78