3.6.Главные касательные напряжения

При заданных величинах главных нормальных напряжений величины напряжений на наклонной площадке и изменяются при изменении направляющих косинусов нормали к площадке , т.е. при изменении положения наклонной площадки к главным осям. Касательное напряжение на наклонной площадке

,

.

Выясним, в каких площадках касательные напряжения получают экстремальные значения. Пусть , тогда

.

Дифференцируем по и приравниваем частную производную нулю, для нахождения экстремума

Преобразуя, имеем

,

Или .

Дифференцируя уравнение для по и приравнивая производную нулю, получим

.

Решениями последних уравнений является , тогда , которые определяют экстремальные значения .

Далее, приняв , получим и . Подставляя , получим .

Из условия выражаем и , подставляя их в ( ), и производим, аналогичные выкладки. Получаем шесть групп значений направляющих косинусов, при которых касательные напряжения получают экстремальные значения.

Первые три группы значений направляющих косинусов определяют плоскости, в которых касательные напряжения принимают минимальные значения, равные нулю. Вторые три группы значений определяют плоскости, в которых касательные напряжения достигают максимальных значений.

Таким образом, имеем три пары площадок, расположенных под углом к главным, в которых касательные напряжения достигают максимальных абсолютных значений.

Подставляя в выражение для определения касательного напряжения значения направляющих косинусов, определим значения максимальных касательных напряжений

, , .

Эти напряжения называются главными касательными напряжениями.

Нормальные напряжения в этих площадках получаться при подстановке значений направляющих косинусов в выражение для нормального напряжения на наклонной площадке т.е.

, , .

Площадки, на которых действуют главные касательные напряжения, ещё называют, диагональными.

3.7.Шаровой тензор и девиатор напряжений

Из выражений для определения главных касательных напряжений видно, что с уменьшением или увеличением главных нормальных напряжений на одну и ту же величину значения главных касательных напряжений не изменяются. Это даёт возможность представить тензор напряжений в виде суммы двух тензоров.

Введём в рассмотрение среднее нормальное напряжение

.

Среднее нормальное напряжение равно одной трети линейного тензора напряжений. Составим шаровой тензор

.

Вычитаем его из тензора напряжений

= .

Или . Тензор называется девиатором напряжений.

Шаровой тензор может представлять равномерное сжатие или растяжение, не влияя на изменение формы. Возможно лишь изменение объёма.

Если напряженное состояние определяется девиатором, то тело изменяет форму без изменения объёма.

3.8. Октаэдрические напряжения

Выше были рассмотрены площадки, в которых напряжения и нормальные и касательные принимают экстремальные значения. Это главные и диагональные площадки.

Определим напряжение в площадках, одинаково наклоненных к главным осям. В этом случае . Из соотношения находим положение площадки в пространстве

, откуда

Такие площадки образуют фигуру октаэдр. Их называют октаэдрическими, так же напряжения, которые действуют в этих площадках.

Подставляя значение направляющего косинуса в выражение для нормального напряжения , получим нормальное октаэдрическое напряжение

.

Касательное октаэдрическое напряжение определяется выражением

.

Откуда .

Через главные касательные напряжения

.

Для дальнейшего анализа воспользуемся линейным инвариантом тензора напряжений в главных напряжениях. Возведем его в квадрат

,

квадратный инвариант в главных напряжениях

.

Тогда можно записать . Подставляя инварианты в произвольных координатах, получим

.

После преобразований

.

Квадратный инвариант

=

.

Можно записать . Октаэдрические касательные напряжения, второй инвариант являются обобщенной характеристикой напряженного состояния точки, т.к. они определяются всеми составляющими тензора напряжений. Вводится в рассмотрение интенсивность касательных напряжений, которая разными авторами представляется либо как октаэдрическое касательное напряжение, либо, как второй инвариант напряжений. В последнем случае

.

Интенсивность касательных напряжений отличается от октаэдрического касательного напряжения тем, что есть величина скалярная.

От интенсивности касательных напряжений следует отличать интенсивность напряжений или обобщенное напряжение

.

Интенсивность напряжений позволяет формально обобщить некоторые соотношения теории упругости и пластичности при объемном и линейном напряженном состояниях. Например , . Обобщенный показатель характеризует напряженное состояние одним числом, как и .