4.8. Механические схемы деформаций
Механическая схема деформации для данного элементарного объема дает графическое представление о наличии и знаке главных напряжений и главных деформаций. Она представляет собой совокупность схемы главных напряжений и деформаций. На рис.4.4 представлено механические схемы главных напряжений и деформаций.
Рис.4.4. Механические схемы напряжений и деформаций
Установлено, что напряженное состояние характеризуется одной из девяти схем, а деформированное – одной из трех.
Можно учесть не
только наличие и направление главных
деформаций, но и соотношение между ними
при помощи величины
,
таким образом
.
С учетом условия постоянства объема
,
.
Аналогичную величину вводят для
напряженного состояния
.
Если допускать их равенство, что
представляет одну из форм связи между
напряжениями и деформациями, можно
реализовать качественный анализ
напряженно-деформированного состояния
металла при различных процессах ОМД.
5. Обобщенный закон упругости
5.1. Связь деформаций и напряжений для пространственного напряженного состояния
Известна связь между напряжением и деформацией при однооносном напряженном состоянии, установленным Гуком
,
где
- относительные удлинения параллелепипеда
вдоль оси
под действием одного напряжения
,
–
модуль упругости материала.
В направлении осей и , поперечных к действующей силе, имеет место деформация согласно закону Пуассона
,
где
- коэффициент
Пуассона.
Соответственно
для напряжений
и
имеем
,
,
,
.
Так
как между напряжениями и деформациями
линейная зависимость, то действует
принцип суперпозиции или закон
независимости действия сил, согласно
которому
,
,
.
Выражения предполагают, что не существует перекашивания прямых углов на гранях (углы сдвига) элементарного параллелепипеда.
Действие касательных напряжений искажают форму параллелепипеда. Принимается, что касательные напряжения или деформации сдвига не зависят от нормальных напряжений или линейных удлинений.
Совокупность
касательных напряжений
,
вызывает перекашивание граней,
параллельных плоскости
и оставляют без изменения другие грани.
В соответствии со вторым законом Гука
;
,
где
– модуль упругости второго рода.
Известно, что
.
От действия
напряжений
;
,
от
касательных напряжений
;
.
Все компоненты напряжений определяют составляющие деформаций:
,
;
,
;
,
.
Последние выражения представляют собой обобщенный закон упругости для изотропного тела.
Компоненты тензора деформаций в данной точке тела находятся в линейной зависимости от компонентов тензора напряжений в той же точке.
При =0 компонент тензора напряжений прямо пропорционален соответствующему компоненту тензора деформации.
5.2. Связь напряжений и деформаций для пространственного напряженного состояния
Часто возникает
необходимость выразить напряжения
через деформации. Решим уравнения
обобщенного закона Гука относительно
,
,
.
Пусть
,
.
Определим . Суммируя напряжения, получим
,
или
,
где -
,
.
Тогда
.
Или
,
;
,
;
,
.
Выражения также определяют запись обобщенного закона Гука для объемного напряженного состояния через деформации.
Для нормальных напряжений можно записать
;
;
,
где
(объемная
деформация),
(постоянная Ляме)
Определяя разность, имеем
;
;
.
Из последних
соотношений определяется подобие кругов
Мора для напряжений (
)
и для деформаций (
).
Применительно к «главному кубу», можно
показать, что
;
;
.
Получим упрощенную запись обобщенного закона Гука, используя выражение для обобщенного напряжения, действительно
=
=
Учитывая,
что
Имеем
.
Интенсивность напряжений прямо пропорциональна интенсивности деформаций.
Если в процессе
простого и сложного нагружения для
каждого последующего момента времени
интенсивность напряжения
и интенсивность деформации
превышают их значения для предыдущего
момента времени, то такой процесс
деформации называется активным. В
противном случае – пассивным. Это имеет
значение для теории пластичности, где
имеет место различие законов нагрузки
и законов разгрузки.