3.2. Тензор напряжений.
Выше показано, используя метод сечений и представление материальной точки в виде элементарного параллелепипеда, имеем либо три вектора разложения, либо девять векторов разложения полного напряжения , рис.3.3
Рис.3.3. Схема действия напряжений на элементарный объем
.
Запишем проекции
полного напряжения в произвольных
координатах в виде таблицы
- направление
- направление
- направление
X Y Z
Большие буквы X,Y,Z – показывают адреса площадок, нормали которых совпадают с направлениями . Нижние индексы имеют определенное функциональное назначение. Первый индекс показывает направление действия вектора напряжения, второй индекс указывает адрес площадки. Если первый индекс , следовательно, напряжение направлено параллельно оси . Если второй индекс , следовательно, площадка действия напряжения перпендикулярна оси , а ее нормаль параллельна этой оси. Два одинаковых нижних индекса заменяется одним.
Совокупность девяти величин называется тензором второго ранга. В общем случае тензор характеризует вектор в многомерном пространстве. В соответствии с характеристикой вектора он должен быть задан своими проекциями и по величине и по направлению. Величина напряжения характеризуется совокупностью всех проекций и определяется последовательным применением теоремы Пифагора, а направление - направляющими косинусами, или же направляющим тензором. Вектор в трехмерном пространстве представляется тремя составляющими (проекциями) и называется тензором первого ранга. Скалярная величина – это тензор нулевого ранга. Тензор второго ранга или тензор напряжений
Если элементарный объем находится в равновесии, то следует закон парности касательных напряжений, т.е.
,
касательные напряжения с одинаковыми нижними индексами равны.
С учетом последних соотношений, тензор напряжений записывается
Тензор напряжений полностью характеризует напряженное состояние в точке.
3.3. Напряжения на наклонной площадке
Составляющие тензора напряжений, исходя из геометрических соотношений, определяют напряжение (напряженное состояние) в данной точке и по модулю и по направлению. Однако этого может оказаться недостаточным, если необходимо определить напряжение по заданному направлению, т.е. на наклонной площадке. Докажем, если заданы напряжения в трёх взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через заданную точку, то напряженное состояние по любому направлению будет известно, следовательно будет известным и наряженное состояние в точке.
Проведём через
данную точку
,
рис.3.4, плоскость наклона к осям
координат. Фигура тетраэдр, сливающаяся
с точкой
.
Нормаль
перпендикуляра к наклонной плоскости.
Ее площадь
,
площади остальных граней
.
На взаимно перпендикулярные грани
действуют составляющие тензора
напряжений.
На наклонной грани
действует полное напряжение
.
Напряжение может быть разложено по
разным направлениям. В данном случае
.
Если тетраэдр находится в равновесии, то имеем условия равновесия по координатным осям всех действующих сил
;
;
.
Из построения
,
где
направляющие косинусы
;
;
.
Рис. 3.4. Напряжения на наклонной площадке.
После преобразований и сокращений на , имеем
;
;
.
Проекции полного
напряжения
на наклонной площадке содержат все
компоненты тензора напряжений. По
правилу параллелепипеда полное напряжение
.
Направляющие косинусы
;
;
.
Если известны
проекции вектора на координатные оси
,
,
,
можно определить этот вектор по величине
и направлению. В теории упругости и
пластичности удобно вектор напряжений
разложить не только по координатным
направлениям
,
,
,
но и по другим, связанных с направлением
наклонной площадки. Это нормальное и
касательное направление к площадке.
Используя теорему о проекции суммы,
получим нормальное напряжение к наклонной
площадке
.
Подставляя значения
.
Полное касательное
напряжение в наклонной площадке по
теореме Пифагора 
По формулам можно определить напряжения в любой наклонной площадке. Если заданы шесть напряжений, действующих в точке по трём взаимно перпендикулярным, то её напряженное состояние определено.
Следует добавить, что выражения могут быть использованы для вычисления внешней силы. Это уравнения связи между внешними силами на контакте и компонентами тензора напряжений или внутренними силами. Ещё их называют условиями на контуре, которые должны входить в математическую постановку задачи теории упругости или пластичности.