3.9.Условие равновесия для объемного напряженного состояния
Математические модели процессов, явлений описываются дифференциальными уравнениями, которые выводятся из фундаментальных законов природы. В механике на основе условий равновесия или движения.
Напряжения являются непрерывными функциями координат. Выделим в напряженном теле элементарный параллелепипед, рис. 3.6.
Рис.3.6. Равновесие элементарного параллелепипеда
Напряженное состояние в точке определяется тензором напряжений
.
Напряжения в точке
отличается
от напряжений в точке
на бесконечно малую величину. В общем
случае для нормального напряжения вдоль
оси
.
Однако если нет
смещения точек относительно оси координат
,
то можно записать
.
Последнее утверждение позволяет
упростить решение задачи. Отсюда тензор
напряжений
.
Условие равновесия
элементарного объема определяется
уравнениями равновесия. Алгебраические
суммы проекций всех сил на оси координат
должны быть равны нулю, т.е.
,
,
.
Составляя уравнение равновесия сил на
ось
имеем
.
Раскрывая скобки
и сокращая на
,
получим
.
Аналогично уравнения равновесия на оси и . В итоге
;
;
.
Представленные выражения определяют собой дифференциальные уравнения в частных производных и являются условиями равновесия для объемного напряженного состояния. Эти условия обязательны для всех точек деформируемого тела.
Если на тело действуют массовые силы и пластическая деформация испытывает динамическое воздействие, тогда уравнения движения среды
;
;
.
где
- массовые силы, действующие на элементарный
объем;
- перемещения
частиц среды вдоль осей координат
.
Напряжения меняются по объему тела, и в элементах, выходящих на поверхность. Их величина должна быть такой, чтобы уравновесить внешнюю нагрузку, т.е. удовлетворить условиям на контуре.
Частным случаем
объемного напряженного состояния
является осесимметричное напряженное
состояние. Оно относится к телам вращения.
Внешние нагрузки расположены симметрично
относительно оси и одинаковы во всех
меридиональных сечениях. Это осадка
цилиндрической заготовки, прошивка,
прессование, волочение и т.д. В этом
случае используют цилиндрическую
систему координат (
).
Напряжения в цилиндрических координатах,
рис.3.7.
Тензор напряжений
.
При осесимметричном
напряженном состоянии компоненты
напряжений не зависят от координаты
.
В плоскости
не возникает касательных напряжений,
вследствие симметрии тела и нагрузок,
поэтому
.
Следовательно,
будет главным напряжением. Тензор
напряжений при осесимметричном
напряженном состоянии
.
Рис.3.7. Напряжения в цилиндрических координатах.
Принимая тот же
метод сечений, запишем условие равновесия
сил на оси
и
,
принимая при этом
,
тогда
.
Аналогично проектируя на ось и, после несложных преобразований и сокращений, получим
;
.
При решении некоторых задач касательные напряжения могут отсутствовать. В этом случае вместо двух уравнений равновесия остается одно
.
Нормальные напряжения здесь являются главными.
Плоская задача
теории пластичности, декартовая система
координат. Плоское напряженное состояние
или плоско деформированное. Касательные
напряжения с нижним индексом координаты,
вдоль которой отсутствует компонент
напряжения или деформации, равны нулю.
Например,
и
,
тогда
;
.
В полярных координатах, уравнения равновесия плоской задачи
;
.
Возвращаясь к объемному напряженному состоянию для цилиндрических координат можно записать
;
;
.
Из сопоставления видно, что вид дифференциальных уравнений равновесия зависит от выбранных систем координат.