- •1. Введение
- •2.Физические основы пластической деформации
- •2.1. Строениие металлов
- •2.2. Механизмы пластической деформации
- •2.3.Упрочнение при пластической деформации
- •2.4. Фазовые превращения при деформации
- •2.5. Нагрев и разупрочнение деформируемых металлов
- •2.6. Пластическая деформация при различных температурно-скоростных условиях
- •2.7.Пластическая деформация при растяжении образца
- •2.8. Влияние температуры, скорости и степени деформации на сопротивление деформации
- •2.9. Контактное трение
- •3. Теория напряжений
- •3.1. Напряжения в данной точке
- •3.2. Тензор напряжений.
- •3.3. Напряжения на наклонной площадке
- •3.4. Главные напряжения. Инварианты тензора напряжений
- •3.5.Эллипсоид напряжений
- •3.6.Главные касательные напряжения
- •3.7.Шаровой тензор и девиатор напряжений
- •3.8. Октаэдрические напряжения
- •3.9.Условие равновесия для объемного напряженного состояния
- •4. Теория деформаций
- •4.1. Перемещение точки при пластической деформации
- •4.2. Деформации в элементарном объеме
- •4.3. Деформации по произвольному направлению. Главные деформации. Инварианты деформаций.
- •4.4. Шаровой тензор деформации, девиатор деформации
- •4.5. Неразрывность деформации
- •4.6. Скорости перемещений и скорости деформаций
- •4.7. Условие постоянства объема
- •4.8. Механические схемы деформаций
- •5. Обобщенный закон упругости
- •5.1. Связь деформаций и напряжений для пространственного напряженного состояния
- •5.2. Связь напряжений и деформаций для пространственного напряженного состояния
- •5.3. Закон упругого изменения объема и закон упругого изменеия формы
- •5.4. Связь между напряжениями и деформациями в пластической области
- •6. Условия перехода деформируемого тела в пластическое состояние
- •6.1. Гипотезы наступления пластической деформации
- •6.2. Влияние среднего по величине главного напряжения на условие пластичности
- •6.3. Частные случаи теории пластичности
- •7. Методы определения усилий и деформаций при обработке металлов давлением
- •7.1. Метод линий скольжения
- •6.2. Решение с применением точных уравнений равновесия и условия пластичности
- •7.3. Решение с применением приближенных уравнений равновесия и условия пластичности
- •6.4.Метод баланса работ
- •7.5.Вариационные методы
6. Условия перехода деформируемого тела в пластическое состояние
Критерий, который определяет условия возникновения пластической деформации при сложном напряженном состоянии, называется условием пластичности.
6.1. Гипотезы наступления пластической деформации
ПЕРВОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ
Рассмотрим одноосное напряженное состояние, в этом случае имеем нормальное растягивающее напряжение . На рис. 6.1 представлена схема напряжений, действующих на наклонной площадке растягиваемого образца. Напряжения растяжения , Напряжение на наклонной площадке
, при этом ,
,
.
Рис.6.1. Схема напряжений, действующих на наклонной площадке
Аналогичные формулы можно получить, используя выражения для нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке при .
Действительно, , , .
, , = .
т.к. , , тогда
Пластическая деформация реализуется под действием максимальных касательных напряжений, т.е. при максимальном значении тригонометрической функции и максимальном значении напряжения , тогда , или .
Последняя формула представляет первое предельное состояние при линейном напряженном состоянии.
Первое предельное состояние позволяет установить подходы реализации условия пластичности для объемного напряженного состояния, воспользовавшись гипотезой «единой кривой». В этом случае предполагается независимость вида уравнений от схемы напряженного состояния. В последнем выражении, с одной стороны предел текучести , зависящий от деформационных, скоростных и температурных факторов. С другой, величина, характеризующая напряженное состояние точки, в данном случае .
Гипотеза «единой кривой» позволяет поставить знак равенства между значениями, характеризующие объемное напряженное состояние и пределом текучести, полученного на основании опытных данных в условиях линейного растяжения или сжатия.
УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ ТРЕСКА - СЕН-ВЕНАНА ИЛИ ГИПОТЕЗА МАКСИМАЛЬНЫХ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
При объемном напряженном состоянии, кроме главного напряжения присутствуют еще напряжения, и . Какое сочетание главных напряжений определяет напряженное состояние точки? В общем, для определения условия пластичности, необходимо знать зависимость .
Принимая положение о наступлении пластической деформации под действием максимальных касательных напряжений, следует рассмотреть напряжения на диагональных площадках, на которых касательные напряжения получают экстремальное значение и имеют вид
.
Записывая соотношения , имеем максимальную разность и максимальные касательные напряжения . Выше было показано, что при линейном напряженном состоянии, когда , .
Используя гипотезу «единой кривой»,запишем или
.
Условие пластичности Треска – Сен-Венана. Принципиальным отличием от условия первого предельного состояния заключается в том, что напряженное состояние точки определяется разностью главных нормальных напряжений, а не величиной одного главного напряжения .
В общем случае, напряженное состояние тела неоднородно, отсюда условие пластичности применяют для каждой точки деформируемой среды. Поэтому максимальные разности для отдельных точек могут меняться, тогда
, , .
Условие Треска – Сен-Венана имеет, в данной форме, наглядную геометрическую интерпретацию в координатах Фигура представляет собой правильную шестигранную призму, ось которой проходит через начало координат, одинаково наклоненной к координатным направлениям. Поверхность призмы называется поверхностью пластичности. Если напряженное состояние определяется точкой расположенной внутри призмы пластичности, то тело находится в упругом состоянии, если на поверхности - тело находится в пластическом состоянии. Вне пределов призмы – смысла нет. Сечение поверхности пластичности плоскостью показано на рис.6.2.
Характерные точки - переход в предельное состояние при одноосном растяжении (сжатии). Точки - переход в предельное состояние при двухосном растяжении (сжатии).
Рис.6.2. Сечение поверхности пластичности
УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ ГУБЕРА-МИЗЕСА
Недостатком условия пластичности Треска - Сен-Венана является отсутствие учета в напряженном состоянии точки среднего главного напряжения .
Обобщенной характеристикой напряженного состояния можно считать октаэдрическое касательное напряжение , с учетом запишем
.
При линейном напряженном состоянии, с учетом первого предельного состояния, октаэдрическое касательное напряжение равно .
Воспользуемся гипотезой «единой кривой», Тогда = , или
= .
В левой части интенсивность касательных напряжений в главных координатах, т.е. . В произвольных координатах
.
Последние три равенства представляют собой условие пластичности Губера-Мизеса, которое формулируется следующим образом: предельное состояние пластичности наступит тогда, когда интенсивность напряжений при объемном напряженном состоянии достигнет предела текучести. При имеем , т.е. переходим к первому предельному состоянию в условиях линейного напряженного состояния .
Условие Губера-Мизеса в литературе имеет несколько наименований:
- условие постоянства интенсивности напряжений;
- условие постоянства октаэдрического касательного напряжения;
- условие постоянства удельной энергии изменения формы или «энергетическое условие».
Условие Губера-Мизеса имеет геометрическую интерпретацию. Поверхность пластичности отображается цилиндрической поверхностью, ось которой одинаково наклонена к направлениям Сечение поверхности пластичности плоскостью , называется контуром пластичности и имеет вид эллипса, рис.5.2. В точках условие пластичности Губера-Мизеса и Треска - Сен-Венана дают одинаковый результат. Представляет интерес определение напряжений , и таким образом, чтобы они удовлетворяли условие пластичности. Показано, что главные напряжения могут тождественно удовлетворить уравнение пластичности при условии
, ,
- угол вида напряженного состояния. Подставляя напряжения в условия пластичности, получим тождество.