6.2. Решение с применением точных уравнений равновесия и условия пластичности
Рассматривается процесс плоской деформации, осадка полосы на шероховатых плитах, рис.7.7.
Рис.7.7. Осадка полосы на шероховатых плитах.
Имеем
;
.
Систему уравнений можно представить в виде одного уравнения, которое называется обобщенным уравнением равновесия, т.е.
.
Уравнение с одним
неизвестным. Упрощенный вариант решения,
когда
зависит
только от координаты
,
тогда
.
В этом случае
.
Решение имеет вид
При
,
,
тогда
,
для
получим
.
С учетом дифференцирования и подстановки в уравнения равновесия
;
.
Решая эти уравнения,
запишем
;
,
где
и
- произвольные функции. Для их определения
используем условие пластичности, тогда
;
.
Подставляя значение произвольных функций, имеем
;
;
.
Для практического
использования пригодно лишь одно второе
уравнение системы, пренебрегая остальными,
что связано с невозможностью удовлетворения
граничных условий на краю заготовки.
При отсутствии трения напряжение
оставалось бы постоянным, тогда при
,
,
отсюда
;
.
На контакте
,
которое по Зибелю
.
Подставляя, найдем
.
На рис.7.8 представлено
распределение нормальных напряжений
на контактной поверхности.
Удельное усилие определяется выражением
.
Рис.7.8. Распределение нормальных напряжений на контакте.
Анализ выражения
показывает, что контактное напряжение
кроме предела текучести зависит от
коэффициента трения и фактора формы
.
7.3. Решение с применением приближенных уравнений равновесия и условия пластичности
Распределение
нормальных напряжений ищется только
на контактной поверхности. Нормальные
напряжения не зависят от координаты
.
Следовательно,
и
.
Принимая напряжения
от
координаты
в
виде линейной зависимости, имеем
.
Подставляя в первое уравнение равновесия,
получим
,
которое и есть приближенное уравнение
равновесия. Принимая условие пластичности
в упрощенном виде
и распределение касательных напряжений
на контакте
,
после подстановки и интегрирования,
имеем
.
С учетом граничных
условий
.
Использование закона Амонтона в качестве
граничных условий приводит к новым
выражениям по сравнению с законом
Зибеля. Это свидетельствует о большом
влиянии в решении и на практике
контактного трения в процессах ОМД.
6.4.Метод баланса работ
Метод основан на
законе сохранения энергии. При
пластической деформации работа внешних
сил равна работе внутренних сил на
соответствующих перемещениях:
,
,
тогда
,
где
-
работа активных сил;
-
работа сил трения на контакте.
Определим приращение
работы внутренних сил элементарного
объема при малой деформации, которое
можно представить, как скалярное
произведение вектора напряжения
и вектора элементарного перемещения
.
При этом
,
.
Учитывая, что скалярные произведения единичных векторов
,
,
можно записать
.
Для главных
направлений
.
Если напряженное
и деформированное состояние точки
определяется тензором напряжений и
деформаций
и
,
то согласно правилам произведения
матриц получим тот же результат
.
Подставляя значения деформаций
Или
.
С учетом модуля
сдвига, получим
.
Следовательно
.
Элементарную
работу внешних сил можно представить,
как скалярное произведение векторов
и
.
На контакте поверхностные силы и перемещения можно записать в виде
,
,
тогда
.
Работа внешних (поверхностных) сил, включая работу контактных сил трения
,
где - проекции сил на оси координат; - перемещения вдоль координат. Работа сил контактного трения
.
Работа активных
сил
.
Во многих случаях
,
тогда
.
Определим усилие
,
необходимое для горячей осадки
цилиндрической заготовки диаметром
и высотой
.
Напряженное состояние осесимметричное.
Используем цилиндрические координаты.
Деформация однородная
,
касательное напряжение постоянно на
контактной поверхности
.
Элементарный объем
.
Работа деформации
.
Элементарная
поверхность
.
Работа сил трения
.
Для определения
и
в условие постоянства объема подставим
деформации
и
,
имеем
.
В силу условия однородности
.
С учетом последнего
.
После интегрирования
.
С учетом очевидных условий
.
Деформации
;
.
Интенсивность деформаций
.
Используя найденные величины, получаем
.
После интегрирования
.
Удельное усилие деформирования
.
Сопоставляя с решением плоской задачи при тех же граничных условиях видно, что при осесимметричном напряженном состоянии удельные контактные силы меньше. Это объясняется присутствием поперечной деформации .